III慶應義塾大学 2026年 数学 第III問解答・解説

第III問　解答

$\theta=\dfrac{2\pi}{7}$ とおく。$z=\cos\theta+i\sin\theta$ は絶対値が $1$ なので、$z^{-1}=\overline{z}$ である。

(1)

$z^{r}=1$ となる条件は $r\theta$ が $2\pi$ の整数倍となること、すなわち $r$ が $7$ の倍数であることである。したがって最小の自然数は $k=7$ であり、すべての自然数 $l$ について $(z^{l})^{7}=1$ となる。また
$$a=z+z^{-1}=2\cos\theta=2\cos\dfrac{2\pi}{7}.$$
よって $\text{あ}=7$、$\text{い}=\dfrac{2}{7}$ である。$z+z^{-1}=a$ を平方・立方すると
$$z^{2}+z^{-2}=a^{2}-2,\qquad z^{3}+z^{-3}=a^{3}-3a.$$
$z\neq1$ かつ $z^{7}=1$ より $1+z+\cdots+z^{6}=0$ である。両辺に $z^{-3}$ を掛け、互いに逆数の項を組にすると
$$0=1+(z+z^{-1})+(z^{2}+z^{-2})+(z^{3}+z^{-3})=a^{3}+a^{2}-2a-1.$$
従って $\text{う}=a^{2}-2$、$\text{え}=a^{3}-3a$、$(\text{お},\text{か},\text{き})=(1,-2,-1)$ である。

$p(x)=x^{3}+x^{2}-2x-1$ とする。$j=1,\,2,\,3$ に対し $z^{j}$ も $1$ 以外の $7$ 乗根であるから、同様の計算により $2\cos\dfrac{2j\pi}{7}$ は $p(x)=0$ の解である。$0<\dfrac{2\pi}{7}<\dfrac{4\pi}{7}<\dfrac{6\pi}{7}<\pi$ で余弦の値は角度が大きくなると必ず小さくなるため、これらは相異なる三つの解である。問題の $0<\text{く}<\text{け}<1$ に従い
$$b=2\cos\dfrac{4\pi}{7},\qquad c=2\cos\dfrac{6\pi}{7},$$
$\text{く}=\dfrac{4}{7}$、$\text{け}=\dfrac{6}{7}$ である。

(2)

$\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{2\pi}{7}<\dfrac{\pi}{3}$ である。余弦関数は引数が $0$ から $\pi$ まで増えると値が必ず小さくなるので
$$1=2\cos\dfrac{\pi}{3}<a=2\cos\dfrac{2\pi}{7}<2\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}.$$
従って $\sqrt{1}<a<\sqrt{2}$ より $\text{こ}=1$ である。

(3)

$x\geqq1$ では $p'(x)=3x^{2}+2x-2>0$ である。$\alpha=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$、$\beta=\sqrt{\dfrac{8}{5}}$ とおくと
$$p(\alpha)=\dfrac{1-\alpha}{2}<0,\qquad p(\beta)=\dfrac{3-2\beta}{5}>0$$
である。後者は $\beta^{2}=\dfrac{8}{5}<\dfrac{9}{4}$ より $\beta<\dfrac{3}{2}$ による。$a>1$、$p(a)=0$ と単調性から
$$\sqrt{\dfrac{15}{10}}=\alpha<a<\beta=\sqrt{\dfrac{16}{10}}.$$
従って $\text{さ}=15$ である。

(4)

$\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{4\pi}{7}<\dfrac{6\pi}{7}<\pi$ より $b,\,c<0$ であり、$\cos(\pi-t)=-\cos t$ を使うと
$$|b|=2\cos\dfrac{3\pi}{7},\qquad a=2\cos\dfrac{2\pi}{7},\qquad |c|=2\cos\dfrac{\pi}{7}.$$
$\dfrac{\pi}{7}<\dfrac{2\pi}{7}<\dfrac{3\pi}{7}$ であるから
$$\text{し}=|b|<\text{す}=a<\text{せ}=|c|.$$

(5)

解と係数の関係から $a+b+c=-1$ である。また $p\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{8}>0$、$p(0)=-1<0$ なので、$p$ は $-\dfrac{1}{2}<x<0$ の範囲に解をもつ。$a>1$、$c=2\cos\dfrac{6\pi}{7}<-1$ であり、三つの解は $a,b,c$ に尽きるから、その解は $b$ である。従って $-\dfrac{1}{2}<b<0$ である。(4) の最大辺は $|c|$ であり、
$$|c|-(a+|b|)=-c-a+b=1+2b>0.$$
最大辺が他の二辺の和を超えるため、この三辺をもつ三角形は存在しない。

(6)

$q=z^{3}$ は直線 $\mathrm{OA}$ の単位方向を表す。単位の複素数 $q$ の方向の原点を通る直線に関する $u$ の対称な点は、$u$ を $\overline{q}$ 倍して実軸に回し、共役をとり、$q$ 倍して戻すことにより $q^{2}\overline{u}$ である。従って $u=iz$ の像は
$$\gamma=z^{6}\overline{iz}=-iz^{5}.$$
ここで $z^{2}-z^{-2}=2i\sin\dfrac{4\pi}{7}$ より
$$\gamma+iz=iz(1-z^{4})=iz^{3}(z^{-2}-z^{2})=2\sin\dfrac{4\pi}{7}\,z^{3}.$$
$a=2\cos\theta>0$、$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\sqrt{4-a^{2}}=2\sin\theta$ である。倍角の公式から
$$2\sin\dfrac{4\pi}{7}=2\sin 2\theta=4\sin\theta\cos\theta=a\sqrt{4-a^{2}}.$$
従って
$$\gamma=a\sqrt{4-a^{2}}\,z^{3}-iz,$$
すなわち $\text{そ}=a\sqrt{4-a^{2}}$、$\text{た}=-1$ である。両係数は実数である。

(7)

$w=\dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$ であり、$|z|=|w|=1$ である。$\theta-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{21}$ を用いると
$$|z^{d}+w^{d}|^{2}=2+2\,\bigl(z^{d}\overline{w^{d}}\text{ の実部}\bigr)=2+2\cos\dfrac{d\pi}{21}\leqq4.$$
等号は $\dfrac{d\pi}{21}$ が $2\pi$ の整数倍となるとき、すなわち $d$ が $42$ の倍数であるとき、かつそのときに限る。$d=42$ は指定範囲内なので最大値は $2$ である。また $42\cdot48=2016\leqq2026<2058=42\cdot49$ より該当する $d$ は $48$ 個である。従って $\text{ち}=2$、$\text{つ}=48$ である。