3福島県立医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

割る式を用いると
$$x^2=(x^2-7x-2)+7x+2$$
であるから、余りを考えるときは $x^2$ を $7x+2$ に置き換えられる。

(1) したがって
$$x^2\text{ の余り}=7x+2$$
より、$a_2=7,\ b_2=2$ である。

(2) $x^n$ の余りが $a_nx+b_n$ であるとき、これに $x$ を掛けて $x^2$ を $7x+2$ に置き換えると
$$x^{n+1}\text{ の余り}=a_n(7x+2)+b_nx=(7a_n+b_n)x+2a_n.$$
よって
$$a_{n+1}=7a_n+b_n,\qquad b_{n+1}=2a_n.$$

(3) (1), (2)から $a_3=7a_2+b_2=51$ であり、$b_{n+1}=2a_n$ を用いれば $n\geqq2$ について
$$a_{n+2}=7a_{n+1}+2a_n$$
を得る。$a_2=7,\ a_3=51$ はいずれも正の整数である。$a_k,a_{k+1}$ が正の整数なら、この漸化式により $a_{k+2}$ も正の整数であるから、帰納的にすべての $n\geqq2$ で $a_n$ は正の整数である。

また、この漸化式を7で割った余りについて見ると
$$a_{n+2}\equiv 2a_n\pmod 7.$$
したがって、$a_2\equiv0\pmod 7$ から偶数番目の項はすべて7の倍数である。

(4) 偶数 $n$ では(3)より余りは0である。一方、$a_3=51\equiv2\pmod7$ であり、$a_{n+2}\equiv2a_n\pmod7$ だから、奇数番目の項の余りは
$$a_3\equiv2,\qquad a_5\equiv4,\qquad a_7\equiv1\pmod7$$
の順に繰り返す。実際、$2^3\equiv1\pmod7$ なので以後もこの3つが周期的に現れる。よって奇数番目では余りは $1,2,4$ であり、偶数番目の余り0と合わせて、求める余りは $0,1,2,4$ である。