1獨協医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

下の図のような $\mathrm{AB}=30\mathrm{cm},\,\mathrm{AD}=10\mathrm{cm}$ の長方形 ABCD の周上を点 P と点 Q が次のような規則で動く。点 P は頂点 D を出発し頂点 $\mathrm{D},\,\mathrm{C},\,\mathrm{B},\,\mathrm{A},\,\mathrm{D},\,\mathrm{C},\,\cdots$ の順に周上を回り続ける。点 Q は点 P が頂点 D を出発してから4秒後に頂点 A を出発し、頂点 $\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\mathrm{C},\,\mathrm{D},\,\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\cdots$ の順に周上を回り続ける。点 P と点 Q の周上での速さはそれぞれ毎秒 $5\mathrm{cm}$、毎秒 $4\mathrm{cm}$ である。点 P が頂点 D を出発する時刻を時刻 $0$ 秒とする。

(1) 点 P が $x$ 回目に頂点 C に到達する時刻は $\boxed{\text{アイ}}x-\boxed{\text{ウエ}}$ 秒である。また、点 Q が $y$ 回目に頂点 C に到達する時刻は $\boxed{\text{オカ}}y-\boxed{\text{キ}}$ 秒である。

(2) ある時刻で点 P と点 Q が頂点 C 上でちょうど互いにすれ違っているとする。2点 P、Q が動きはじめてからその時刻に頂点 C へ到達するのは、それぞれちょうど $a$ 回目、$b$ 回目であった。このとき $\boxed{\text{ク}}a-\boxed{\text{ケ}}b=1$ が成立する。

(3) 点 P、Q が1回目に頂点 C で互いにすれ違うのは時刻 $\boxed{\text{コサ}}$ 秒であり、6回目に頂点 C で互いにすれ違うのは時刻 $\boxed{\text{シスセ}}$ 秒である。また、点 P、Q は1回目に頂点 C で互いにすれ違ってから、それぞれ長方形 ABCD を $\boxed{\text{ソ}}$ 周、$\boxed{\text{タ}}$ 周するたびに頂点 C で互いにすれ違う。