4金沢大学 2025年 数学 第4問解答・解説

定義から
$$a_n=\frac{n(n+1)}2,\qquad b_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$$
また
$$x_n=\sum_{k=1}^n k\frac{k(k+1)}2 =\frac12\left(\sum_{k=1}^n k^3+\sum_{k=1}^n k^2\right) =\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}.$$
(1)
$$\frac{b_n}{a_n}=\frac{2n+1}{3}$$
なので整数となるのは $2n+1\equiv0\pmod3$、すなわち $n\equiv1\pmod3$ のとき。よって $n=3m+1\ (m=0,1,2,\ldots)$。
(2)
$$\frac12(a_n^2+b_n) =\frac12\left\{\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{n(n+1)(2n+1)}6\right\} =\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{24}=x_n.$$
(3)
$$\frac{x_n}{a_n}=\frac{(3n+1)(n+2)}{12}.$$
整数となるには分子が3と4の両方で割り切れる必要がある。3で割り切れる条件は $n\equiv1\pmod3$。4で割り切れる条件は $n\equiv1,2\pmod4$。両条件を合わせると
$$n\equiv1,10\pmod{12}.$$