3名古屋市立大学 2026年 数学 第3問解答・解説

漸化式の差を望遠和で合計して一般項を導く。(2)は隣り合う整数mでの値の増加を示して解の一意性を確認し、(3)は一般項を因数分解してn=1,2とn≧3に分け、素数となる因数の条件を尽くす。

（1）漸化式より、$n\geqq 2$ のとき
$$\begin{aligned} a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}(m^{k+1}-m^k-m)\\ &=(m^n-m)-m(n-1)\\ &=m^n-mn. \end{aligned}$$$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)$$$$=\sum _{k=1}^{n-1}(m^{k+1}-m^k-m)$$$$=(m^n-m)-m(n-1)$$$$=m^n-mn.$$
この式は $n=1$ のときも $a_1=0$ を与えるので、一般項は $a_n=m^n-mn$ である。

（2）一般項から $a_9=m^9-9m$ である。$m$ は正の整数であり、$m\geqq 1$ のとき
$$\begin{aligned} &\bigl((m+1)^9-9(m+1)\bigr)-(m^9-9m)\\ &=(m+1)^9-m^9-9\\ &=\bigl((m+1)^8+(m+1)^7m+\cdots +(m+1)m^7+m^8\bigr)-9>0. \end{aligned}$$$$((m+1{)}^9-9(m+1))-(m^9-9m)$$$$=(m+1{)}^9-m^9-9$$$$=((m+1{)}^8+(m+1{)}^{7}m+\cdots +(m+1)m^7+m^8)-9>0.$$
最後の括弧内は9個の正の整数の和であり、少なくとも1項は1より大きいからである。したがって $m^9-9m$ は正の整数 $m$ に対して単調に増加する。一方、$m=2$ では
$$a_9=2^9-9\cdot2=512-18=494.$$
よって条件を満たす正の整数は $m=2$ である。

（3）$a_n=m(m^{n-1}-n)$ と因数分解できる。$m=1$ なら $a_n=1-n\leqq 0$ であり、素数である項はない。そこで $m\geqq2$ とする。

$n=1$ では $a_1=0$ である。$n=2$ では $a_2=m(m-2)$ となる。$m=2$ なら $a_2=0$、$m=3$ なら $a_2=3$ は素数である。$m\geqq4$ なら2つの因数 $m$ と $m-2$ はともに2以上なので、$a_2$ は合成数である。したがって $n=2$ から得られるのは $m=3$ だけである。

次に $n\geqq3$ とする。このとき $m^{n-1}-n\geqq 2^{n-1}-n\geqq1$ である。等号が成り立つのは $n=3, m=2$ のときだけである。実際、$n=3$ では $m^2-3=1$ となるのは $m=2$ の場合に限り、$n\geqq4$ では $2^{n-1}-n\geqq4>1$ である（$n=4$ で4となり、$n$ を1増やすとこの値は $2^{n-1}-1>0$ だけ増える）。よって $m^{n-1}-n=1$ となるのは $(m,n)=(2,3)$ だけである。それ以外では、$m\geqq2$ と $m^{n-1}-n\geqq2$ が成り立つため、$a_n$ は2つの2以上の整数の積となり素数ではない。$(m,n)=(2,3)$ では $a_3=2(2^2-3)=2$ は素数である。

以上より、素数である項を含む正の整数 $m$ は $m=2,3$ である。