4信州大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(2)=-2a^2-5a+12=-(2a-3)(a+4)$ だから
$$f(2)\geqq0\text{であるための必要十分条件は} -4\leqq a\leqq\frac32.$$
(2) $t=x-2\geqq0$、$F(t)=f(t+2)$ とおくと
$$F(t)=t^3-3at^2+12(a-1)t-2a^2-5a+12,\qquad F'(t)=3(t-2)(t-2a+2).$$
必要条件(1)の範囲では $2a-2\leqq1<2$。$a\leqq1$ なら $F$ は0から2まで減少し、その後増加する。$1<a\leqq3/2$ なら0から $2a-2$ まで増加、その後2まで減少し、その後増加する。従って $t\geqq0$ の最小値の候補は $F(0),F(2)$ だけである。
$$F(2)=f(4)=-2a^2+7a-4\geqq0\text{であるための必要十分条件は}\frac{7-\sqrt{17}}4\leqq a\leqq\frac{7+\sqrt{17}}4.$$
(1)との共通範囲をとり
$$\boxed{\frac{7-\sqrt{17}}4\leqq a\leqq\frac32}.$$