6東邦大学 2025年 数学 第6問解答・解説

導関数で3実根条件を判定し、面積条件は変数変換後の三次式の根と係数の関係および定積分で評価した。

まず $f^\prime(x)=3kx^2-2x=x(3kx-2)$ である。したがって $x=0$ で極大値 $1$、$x=\dfrac{2}{3k}$ で極小値 $1-\dfrac{4}{27k^2}$ をとる。$k>0$ なので、$x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$、$x\to+\infty$ で $f(x)\to+\infty$。極大値は正であるから、異なる3実根をもつための必要十分条件は極小値が負であること、すなわち $1-\dfrac{4}{27k^2}<0$ である。これを $k>0$ のもとで解くと $0<k<\dfrac{2}{3\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{9}$。

次に、根を $r_1<r_2<r_3$ とし、$t=kx$ とおくと $f(x)=\dfrac{g(t)}{k^2}$、ただし $g(t)=t^3-t^2+k^2$ である。$k>0$ だから、この置換は面積を正の一定倍率で変える。2つの部分の面積が等しいことは、符号が反対の2部分を合わせた符号付き積分が0となること、すなわち $g$ の根 $u=kr_1<v=kr_2<w=kr_3$ に対し $\int_u^w g(t)\,dt=0$ と同値である。
根と係数の関係より $u+v+w=1$、$uv+uw+vw=0$、$uvw=-k^2$。$q=v,\ s=u+w,\ p=uw$ とおけば、$s=1-q,\ p=-qs=-q(1-q)$、また $pq=-k^2$ より $k^2=q^2(1-q)$ である。$r_2>0$ なので $q>0$。さらに $p=uw<0$ であり $p=-q(1-q)$ から $q<1$。
$g$ の原始関数を用い、$w-u>0$ で割ると、面積条件は $$\frac{s(s^2-2p)}4-\frac{s^2-p}{3}+k^2=0$$ となる。上の $s,p,k^2$ を代入すると $$(1-q)\left(\frac{1-q^2}{4}-\frac13+q^2\right)=0$$ である。$q<1$ より $9q^2=1$、$q>0$ より $q=\dfrac13$。従って $k^2=q^2(1-q)=\dfrac{2}{27}$ であり、$k=\dfrac{\sqrt6}{9}$ を得る。