2徳島大学 2024年 数学 第2問解答・解説

法線の傾きを接線の傾きの負の逆数として導き、点を通る条件をパラメータtの三次方程式に帰着した。ちょうど2本という条件は、重根と単根の因数分解および係数比較で必要十分に判定した。

(1)
$y=\frac{x^2}{2}-1$ より、曲線 $C$ の $x=t$ における接線の傾きは $t$ である。$t\ne0$ だから法線の傾きは $-\frac1t$ であり、法線は
$$y-\left(\frac{t^2}{2}-1\right)=-\frac1t(x-t)$$
である。整理して
$$\boxed{x+ty-\frac{t^3}{2}=0}\qquad(t\ne0)$$
を得る。

(2)
点 $(-1,\frac32)$ がこの法線上にある条件は
$$-1+\frac32t-\frac12t^3=0 \text{すなわち} t^3-3t+2=0 \text{すなわち} (t-1)^2(t+2)=0.$$
したがってパラメータは $t=1,-2$ である。これらを(1)に代入すると、異なる2つの法線は
$$\boxed{x+y-\frac12=0},\qquad \boxed{x-2y+4=0}.$$

(3)
点 $(X,Y)$ を通る法線のパラメータ $t$ は
$$X+tY-\frac{t^3}{2}=0, \quad\text{すなわち}\quad f(t)=t^3-2Yt-2X=0$$
を満たす。$X\ne0$ なので $t=0$ は根でなく、すべての根は(1)で許されるパラメータである。また、異なる $t$ は傾き $-1/t$ の異なる法線に対応する。従って、条件はこの三次方程式がちょうど2つの異なる実根をもつことである。

その2根を $r$（重根）と $s$（単根）とする。$f(t)$ の $t^2$ の係数は0なので、解と係数の関係から $2r+s=0$、すなわち $s=-2r$ である。よって
$$f(t)=(t-r)^2(t+2r)=t^3-3r^2t+2r^3.$$
これを $t^3-2Yt-2X$ と係数比較すると
$$2Y=3r^2,\qquad X=-r^3.$$
従って
$$8Y^3=8\left(\frac32r^2\right)^3=27r^6=27X^2.$$
よって必要条件は $27X^2=8Y^3$ である。

逆に $X\ne0$ かつ $27X^2=8Y^3$ とする。実数 $r$ を $r^3=-X$ によって定めると $r\ne0$ である。また、$X^2=r^6$ より
$$Y^3=\frac{27}{8}r^6=\left(\frac32r^2\right)^3,$$
したがって $Y=\frac32r^2$ となる。ゆえに
$$f(t)=t^3-3r^2t+2r^3=(t-r)^2(t+2r)$$
となり、根は $r$ と $-2r$ のちょうど2つで、いずれも0ではない。これらは異なる法線を与える。従って求める条件は
$$\boxed{27X^2=8Y^3\quad(X\ne0)}.$$