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筑波大学／2024年度

3筑波大学 2024年 数学 第3問解答・解説

微分・積分の考え図形と方程式いろいろな式二次関数

1問題

筑波大学2024年度第3問
f(x)=x(x+1)(x−1)f(x)=x(x+1)(x-1) とする。座標平面において、曲線 y=f(x)y=f(x) を C とし、曲線 C 上の点 (t,f(t))(t, f(t)) における接線を L とする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線 L の方程式を t を用いて表せ。

(2) t≠0t \neq 0 のとき、直線 L と曲線 C の共有点で、点 (t,f(t))(t, f(t)) とは異なるものを (a,f(a))(a, f(a)) とする。a を t を用いて表せ。また、t が 0 を除いた実数を動くとき、f′(t)f′(a)f'(t)f'(a) の最小値を求めよ。

(3) 次の条件(A)を満たすような実数 t の範囲を求めよ。

(A) 曲線 C 上の点 (s,f(s))(s, f(s)) における接線が直線 L と直交するような実数 s が存在する。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) 接線の方程式
f(x)=x3−xf(x)=x^3-x より f′(x)=3x2−1f'(x)=3x^2-1。したがって
y−(t3−t)=(3t2−1)(x−t),L: y=(3t2−1)x−2t3. y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t), \qquad \boxed{L:\ y=(3t^2-1)x-2t^3}.

(2) 共有点と積の最小値
交点の横座標は
x3−x=(3t2−1)x−2t3すなわち(x−t)2(x+2t)=0. x^3-x=(3t^2-1)x-2t^3 \text{すなわち} (x-t)^2(x+2t)=0.
t≠0t\ne0 なので、接点以外の交点は a=−2ta=-2t。よって
f′(t)f′(a)=(3t2−1)(12t2−1). f'(t)f'(a)=(3t^2-1)(12t^2-1).
u=t2>0u=t^2>0 として平方完成すると
(3u−1)(12u−1)=36(u−524)2−916. (3u-1)(12u-1)=36\left(u-\frac5{24}\right)^2-\frac9{16}.
u=5/24u=5/24 は許されるため、最小値は −9/16\boxed{-9/16}。

(3) 垂直な接線が存在する範囲
LL の傾きを m=3t2−1m=3t^2-1、ss における接線の傾きを n=3s2−1n=3s^2-1 とおく。実数 ss に対して nn の値域は n≧−1n\geqq-1。垂直条件は mn=−1mn=-1 である。

m=0m=0 では不可能。m<0m<0 なら n=−1/m>0n=-1/m>0 で値域に入り、常に実数 ss が存在する。m>0m>0 なら n=−1/m≧−1n=-1/m\geqq-1 が必要十分であり、これは m≧1m\geqq1 と同値。したがって
−1≦m<0 または m≧1. -1\leqq m<0\text{ または }m\geqq1.
m=3t2−1m=3t^2-1 に戻すと
0≦t2<13またはt2≧23, 0\leqq t^2<\frac13\quad\text{または}\quad t^2\geqq\frac23,
ゆえに
−13<t<13または∣t∣≧23. \boxed{-\frac1{\sqrt3}<t<\frac1{\sqrt3}\quad\text{または}\quad |t|\geqq\sqrt{\frac23}}.
下端の t2=2/3t^2=2/3 は s=0s=0 により実現し、t2=1/3t^2=1/3 は LL が水平で不適。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 接線の点傾き式
  • 交点方程式の因数分解
  • 平方完成
  • 垂直な直線の傾き条件
  • 実数平方の存在条件

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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