1東京慈恵会医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

袋ごとの残存数字を状態として、各状態における条件付き確率を数え上げる。

各袋から1個ずつ取り出すので、玉が3個ずつ残る状態での1回の選択は9通り同様に確からしい。差が1となる順序対は $(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)$ の4通りであり、成功確率は $\frac49$ である。
最初の操作で成功した後、どの組を取り除いた場合も残る数字の組から差1となる取り出し方は4通り中2通りである。したがって、その状態から次の操作が成功する確率は $\frac12$ である。
(1) 2回目終了時に各袋に1個ずつ残るのは2回とも成功した場合なので、確率は $\frac49\cdot\frac12=\frac29$。
(2) 3回のうち成功がちょうど1回となる場合を、成功が起こる回で分ける。1回目に成功する確率は $\frac49(\frac12)^2=\frac19$、2回目に成功する確率は $\frac59\cdot\frac49\cdot\frac12=\frac{10}{81}$、3回目に成功する確率は $(\frac59)^2\cdot\frac49=\frac{100}{729}$。よって求める確率は $\frac19+\frac{10}{81}+\frac{100}{729}=\frac{271}{729}$。