1藤田医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

小問集合。どれも定番の考え方で解ける：余事象と反復試行、素因数分解、角の正接、内心と辺の距離、対称式、条件付きの最小（境界で考える）、平方の形を見抜く積分、複素数の商の偏角、指数と対数、逆関数の微分。

(1)

1 番左（最小値）が 3 以下になるのは、3 以下の目が少なくとも 1 つ出るときだから $1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\dfrac{31}{32}$。左から 2 番目が 3 以下になるのは、3 以下の目が少なくとも 2 つ出るときだから
$$1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}-{}_{5}\mathrm{C}_{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=1-\dfrac{6}{32}=\dfrac{13}{16}.$$

(2)

$2024=2^{3}\cdot 11\cdot 23$ だから $2024^{2}=2^{6}\cdot 11^{2}\cdot 23^{2}$ で、約数の個数は $7\cdot 3\cdot 3=63$。

(3)

$\angle\mathrm{OPA}=\alpha$、$\angle\mathrm{OPB}=\beta$ とすると $\tan\alpha=\dfrac{8}{p}$、$\tan\beta=\dfrac{98}{p}$ で、
$$\tan\angle\mathrm{APB}=\tan(\beta-\alpha)=\dfrac{\dfrac{98}{p}-\dfrac{8}{p}}{1+\dfrac{784}{p^{2}}}=\dfrac{90}{p+\dfrac{784}{p}}.$$
相加平均と相乗平均の関係より $p+\dfrac{784}{p}\geqq 2\sqrt{784}=56$（等号は $p=28$）。$\angle\mathrm{APB}$ は鋭角だから、$p=28$ で最大となる。

(4)

内心 $(0,\,380)$ は三角形の内部にあり、内接円の半径を $r$ とすると、辺 $\mathrm{AB}$（$y=a^{2}$）との距離から $r=a^{2}-380$、辺 $\mathrm{OB}$（$ax-y=0$）との距離から $r=\dfrac{380}{\sqrt{a^{2}+1}}$。$u=\sqrt{a^{2}+1}$ とおくと
$$u^{2}-381=\dfrac{380}{u}\quad\text{より}\quad u^{3}-381u-380=(u+1)(u-20)(u+19)=0.$$
$u>0$ より $u=20$、$a^{2}=399$ で、$r=399-380=19$。

(5)

$s=x+y+z=2+\sqrt{3}$ とおくと $s^{3}=26+15\sqrt{3}$ で、
$$x^{3}+y^{3}+z^{3}=s^{3}-3s(xy+yz+zx)+3xyz=26+15\sqrt{3}-15(2+\sqrt{3})+30=26.$$

(6)

$F=(x-4)^{2}+2(y-1)^{2}-9$。$x\leqq y$ の範囲で、$F$ が最小となる点は境界 $x=y$ 上にある（範囲の内部の点 $(x,\,y)$ は、点 $(4,\,1)$ と結んだ線分が境界 $x=y$ と交わり、その交点のほうが $F$ の値が小さい）。$x=y$ のとき $F=3x^{2}-12x+9=3(x-2)^{2}-3$ で、最小値は $-3$（$x=y=2$）。

(7)

$x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-4x+4=(x^{2}+x-2)^{2}$ だから、被積分関数は $|(x+2)(x-1)|$ である。$G(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-2x$ とおくと
$$\int_{-5}^{7}(x^{2}+x-2)\,dx=G(7)-G(-5)=144,\qquad \int_{-2}^{1}(x^{2}+x-2)\,dx=-\dfrac{9}{2}$$
だから、求める値は $144+2\cdot\dfrac{9}{2}=153$。

(8)

$\dfrac{-4+6i}{5-i}=\dfrac{(-4+6i)(5+i)}{26}=\dfrac{-26+26i}{26}=-1+i$ で、偏角は $\dfrac{3}{4}\pi$。よって $\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{3}{4}\pi$。

(9)

$0.1^{a}=3$ だから $0.0001^{a}=\left(0.1^{a}\right)^{4}=81$。

(10)

$y=f(x)$ とすると $x=\sin y$ で、$\dfrac{dx}{dy}=\cos y>0$。$x=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ のとき $\cos y=\sqrt{1-\dfrac{7}{16}}=\dfrac{3}{4}$ だから、$f'\left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{4}{3}$。