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新潟大学／2026年度

1新潟大学 2026年 数学 第1問解答・解説

場合の数と確率

1問題

新潟大学2026年度第1問
nn を 2≦n≦112\leqq n\leqq 11 を満たす整数とする。nn 人がそれぞれ 1 から 10 までの整数の 1 つを無作為に選ぶとき、同じ整数を選ぶ人が少なくとも一組は存在する確率を P(n)P(n) と表す。次の問いに答えよ。

(1) P(2)P(2)、P(3)P(3)、P(11)P(11) をそれぞれ求めよ。

(2) 2≦n≦102\leqq n\leqq 10 を満たす整数 nn に対して、P(n)<P(n+1)P(n)<P(n+1) が成り立つことを示せ。

(3) P(n)≧0.9P(n)\geqq 0.9 を満たす整数 nn をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    P(2)=110P(2)=\dfrac{1}{10}、P(3)=725P(3)=\dfrac{7}{25}、P(11)=1P(11)=1
  • (2)
    1−P(n+1)={1−P(n)}⋅10−n10<1−P(n)1-P(n+1)=\{1-P(n)\}\cdot\dfrac{10-n}{10}<1-P(n) から示せる（証明は解答を参照）。
  • (3)
    n=7, 8, 9, 10, 11n=7,\,8,\,9,\,10,\,11

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

余事象「全員が異なる整数を選ぶ」の確率 Q(n)=1−P(n)Q(n)=1-P(n) を考える。Q(n+1)=Q(n)⋅10−n10Q(n+1)=Q(n)\cdot\dfrac{10-n}{10} となるので、(2) も (3) もこの関係で調べられる。

解答

全員が異なる整数を選ぶ確率を Q(n)Q(n) とすると、P(n)=1−Q(n)P(n)=1-Q(n) で、2≦n≦102\leqq n\leqq 10 のとき
Q(n)=10⋅9⋯(10−n+1)10n,Q(n+1)=Q(n)⋅10−n10. Q(n)=\dfrac{10\cdot 9\cdots(10-n+1)}{10^{n}},\qquad Q(n+1)=Q(n)\cdot\dfrac{10-n}{10}.

(1)

Q(2)=10⋅9102=910Q(2)=\dfrac{10\cdot 9}{10^{2}}=\dfrac{9}{10} より P(2)=110P(2)=\dfrac{1}{10}。Q(3)=10⋅9⋅8103=1825Q(3)=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{10^{3}}=\dfrac{18}{25} より P(3)=725P(3)=\dfrac{7}{25}。

11 人が 10 個の整数から選ぶと、必ず同じ整数を選ぶ人がいるから P(11)=1P(11)=1。

(2)

2≦n≦102\leqq n\leqq 10 のとき Q(n)>0Q(n)>0、0≦10−n10<10\leqq\dfrac{10-n}{10}<1 だから
Q(n+1)=Q(n)⋅10−n10<Q(n). Q(n+1)=Q(n)\cdot\dfrac{10-n}{10}<Q(n).
よって P(n+1)=1−Q(n+1)>1−Q(n)=P(n)P(n+1)=1-Q(n+1)>1-Q(n)=P(n) である。

(3)

P(n)≧0.9P(n)\geqq 0.9 は Q(n)≦0.1Q(n)\leqq 0.1 と同じである。順に計算すると
Q(4)=1825⋅710=0.504,Q(5)=0.504⋅610=0.3024, Q(4)=\dfrac{18}{25}\cdot\dfrac{7}{10}=0.504,\quad Q(5)=0.504\cdot\dfrac{6}{10}=0.3024,
Q(6)=0.3024⋅510=0.1512,Q(7)=0.1512⋅410=0.06048. Q(6)=0.3024\cdot\dfrac{5}{10}=0.1512,\quad Q(7)=0.1512\cdot\dfrac{4}{10}=0.06048.
よって P(6)<0.9≦P(7)P(6)<0.9\leqq P(7) で、(2) より P(n)P(n) は増加するから、求める nn は n=7, 8, 9, 10, 11n=7,\,8,\,9,\,10,\,11 である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 余事象の確率
  • 順列
  • 確率の大小

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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