4久留米大学 2026年 数学 第4問解答・解説

各セット内の3点到達で終了するコイン列を数え、敗者の得点別確率を用いてゲーム全体のセット順と合計得点を場合分けした。条件付き確率では条件事象の確率を明示して割り、期待値は得点別の確率の和で求めた。

(1)

1セットで、敗者の得点を $r$ 点とする。勝者が3点目を取る直前の得点は勝者が2点、敗者が $r=0,1,2$ 点である。最後の投球は勝者のコインであり、その直前の $2+r$ 回では勝者のコインが2回、敗者のコインが $r$ 回出る。したがって、勝者が $3+r$ 回目にセットを得る確率は
$$\dfrac{{}_{2+r}\mathrm{C}_{r}}{2^{3+r}}.$$
よってAが3回、4回、5回目の投球でセットを得る確率は
$$\dfrac18,\qquad \dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}}{2^4}=\dfrac3{16},\qquad \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{2^5}=\dfrac6{32}=\dfrac3{16}.$$
Bがセットを得る場合、そのセットでAが得る点数は $0,1,2$ 点であり、それぞれの確率は $1/8,3/16,3/16$ である。Aがセットを得る確率は対称性から $1/2$ なので、Aの1セットでの期待得点は
$$3\cdot\dfrac12 +0\cdot\dfrac18 +1\cdot\dfrac3{16} +2\cdot\dfrac3{16} =\dfrac{33}{16}.$$

(2) 条件事象を $C=$「Aが3セットを得てBが0セットのままAが勝つ」とする。Aが勝つセットでBが得る点数 $r=0,1,2$ の条件付き確率は
$$\dfrac{1/8}{1/2}=\dfrac14,\qquad \dfrac{3/16}{1/2}=\dfrac38,\qquad \dfrac{3/16}{1/2}=\dfrac38.$$
条件 $C$ の確率は $(1/2)^3=1/8$。3セットでのBの合計点が3点となるのは $(1,1,1)$ または $(0,1,2)$ の並べ替え6通りである。合計6点となるのは $(2,2,2)$ だけだから、
$$\begin{aligned} P_{C}(p_b=3) &=\left(\dfrac38\right)^3+ 6\left(\dfrac14\right)\left(\dfrac38\right)^2 =\dfrac{135}{2^9},\\ P_{C}(p_b=6) &=\left(\dfrac38\right)^3 =\dfrac{27}{2^9}. \end{aligned}$$$$P_C(p_b=3)={\left(\frac{3}{8}\right)}^3+6\left(\frac{1}{4}\right){\left(\frac{3}{8}\right)}^2=\frac{135}{2^9},$$$$P_C(p_b=6)={\left(\frac{3}{8}\right)}^3=\frac{27}{2^9}.$$

(3) Aがゲームに勝つとAのセット勝ちは3回で、そこからAは9点を得る。$p_a=9$ となるには、Bが勝ったセットでAが0点でなければならない。Bのセット勝ち数を $j$ とすると $j=0,1,2$ である。A勝ちセットでBが得る点数の合計を $b$ とすれば $p_b=3j+b=11$、かつ $0\leqq b\leqq6$。したがって $j=2,\ b=5$ に限る。最後の第5セットはAが勝ち、最初の4セットにはA勝ち2回、B勝ち2回を並べるので ${}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$ 通り。A勝ち3セットでのB得点は $(1,2,2)$ の並べ替え3通りである。固定した勝者順と得点配置の確率は
$$\left(\dfrac3{16}\right)^3\left(\dfrac18\right)^2.$$
よって求める確率は
$$6\cdot3\left(\dfrac3{16}\right)^3\left(\dfrac18\right)^2 =\dfrac{243}{2^{17}}.$$
この場合の総投球数は $9+5+6=20$ 回であり、投球列数でも $6\cdot3\cdot(3\cdot6\cdot6)=1944$ 通り、したがって $1944/2^{20}=243/2^{17}$ と確かめられる。

(4) Aが勝つゲームでBのセット勝ち数を $j$、A勝ちセットでBが得た合計点を $b$、B勝ちセットでAが得た合計点を $a$ とする。全セットの合計は
$$p_a=9+a,\qquad p_b=3j+b,\qquad 0\leqq b\leqq6.$$
条件 $p_b\geqq p_a+2$ は $3j+b\geqq11+a$ である。$j=0,1$ では成立せず、$j=2$ では $b-a\geqq5$。従って可能な $(b,a)$ は $(5,0),(6,0),(6,1)$ だけである。

固定したセット勝者について、敗者が得る点数が $0,1,2$ 点となる各場合の確率は $1/8,3/16,3/16$、すなわち $2/16,3/16,3/16$ と書ける。最初の4セットの勝者順はA勝ち2回、B勝ち2回の6通りで、最後はA勝ちである。1つの勝者順に対し、点数配分の重みを数える。
$$\begin{array}{c|c|c} (b,a)&\text{1つの勝者順での重み}&\text{内訳}\\ (5,0)&324&3(3\cdot3\cdot3)\cdot2^2\\ (6,0)&108&3^3\cdot2^2\\ (6,1)&324&3^3\cdot(2\cdot2\cdot3) \end{array}$$
ここで $(5,0)$ の係数3は $(1,2,2)$ の並べ替え数である。$(6,1)$ ではB勝ち2セットへのA得点 $0,1$ の割当てが2通りある。5セットの各確率を16分の重みで表したため、A勝ちかつ条件成立の確率は
$$\dfrac{6(324+108+324)}{16^5} =\dfrac{567}{2^{17}}.$$
またAがゲームに勝つ確率は、Bのセット勝ち数 $j=0,1,2$ を分けると
$$\dfrac1{2^3}+\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{2^4}+\dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{2^5} =\dfrac12.$$
従って求める条件付き確率は
$$\dfrac{567/2^{17}}{1/2}=\dfrac{567}{2^{16}}.$$