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旭川医科大学／2026年度

4旭川医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

場合の数と確率

1問題

旭川医科大学2026年度第4問
袋 A と袋 B の 2 つの袋がある。袋 A には 0, 1, 2, 3 の数字が書かれているカードがそれぞれ 1 枚ずつ入っており、袋 B には 4, 5, 6, 7 の数字が書かれているカードがそれぞれ 1 枚ずつ入っている。太郎、花子、次郎の 3 人が次のような試行をする。

試行

太郎は袋 A、袋 B の順にカードを 1 枚ずつ取り出す。 花子は太郎の後に袋 B、袋 A の順にカードを 1 枚ずつ取り出す。 次郎は花子の後に袋 A、袋 B の順にカードを 1 枚ずつ取り出す。 ただし、3 人とも取り出したカードはもとに戻さないものとする。

この試行の結果により、3人の得点を次のように定める。

太郎が袋 A から取り出したカードの数字を kk、袋 B から取り出したカードの数字を ℓ\ell として、 kℓk^{\ell} を太郎の得点とする。花子が袋 B から取り出したカードの数字を mm、袋 A から取り出したカードの数字を nn として、 mnm^{n} を花子の得点とする。次郎が袋 A から取り出したカードを r、袋 B から取り出したカードを s として、 rsr^{s} を次郎の得点とする。

このとき、次の問いに答えよ。

問 1 太郎の得点の期待値 E を求めよ。

問 2 花子の得点が太郎の得点の 12\dfrac{1}{2} 未満である確率 p1p_{1} を求めよ。

問 3 花子の得点が太郎の得点の 12\dfrac{1}{2} 以上かつ太郎の得点以下である確率 p2p_{2} を求めよ。

問 4 花子の得点が太郎の得点の 12\dfrac{1}{2} 以上かつ太郎の得点以下であるときに、次郎の得点が花子の得点より小さくなる条件付き確率 p3p_{3} を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 問1 E=8714,問2 p1=59144,問3 p2=19,問4 p3=14.\text{問1 }E=\frac{871}{4},\quad \text{問2 }p_1=\frac{59}{144},\quad \text{問3 }p_2=\frac{1}{9},\quad \text{問4 }p_3=\frac{1}{4}.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

各袋の抽出順を等確率の順序付き組として数え、期待値は得点の総和を平均する。条件付き確率は条件を満たす4枚の組それぞれに残り2枚ずつの次郎の選択を付けて数える。

解答

太郎の得点は、袋Aのカード k と袋Bのカード ℓ\text{カード }k\text{ と袋Bのカード }\ell の組に対して kℓk^\ell である。各袋からの最初の抽出はそれぞれ4通りで一様だから、
E=116∑k=03∑ℓ=47kℓ=116(0+4+240+3240)=8714. E=\frac{1}{16}\sum_{k=0}^{3}\sum_{\ell=4}^{7} k^{\ell} =\frac{1}{16}(0+4+240+3240)=\frac{871}{4}.

次に、太郎と花子の抽出までの順序付き組 (k,ℓ,m,n)(k,\ell,m,n) は
4⋅4⋅3⋅3=144 4\cdot4\cdot3\cdot3=144
通りで、すべて同様に確からしい。各組の後に次郎が選ぶ袋A・袋Bのカードは各2通りあり、確率を数えるとき一様な4通りの続きが付く。T=kℓ,H=mnT=k^\ell,\qquad H=m^n とおく。

H<T/2H<T/2 を満たす (m,n)(m,n) の個数を (k,ℓ)(k,\ell) ごとに数えると、
ℓ=4567計k=000000k=100000k=2666624k=3899935 \begin{array}{c|rrrr|r} &\ell=4&5&6&7&\text{計}\\\hline k=0&0&0&0&0&0\\ k=1&0&0&0&0&0\\ k=2&6&6&6&6&24\\ k=3&8&9&9&9&35 \end{array}
となる。よって
p1=24+35144=59144. p_1=\frac{24+35}{144}=\frac{59}{144}.

同様に T/2≦H≦TT/2\leqq H\leqq T を満たす (m,n) の個数は
ℓ=4567計k=000000k=1333312k=200123k=310001 \begin{array}{c|rrrr|r} &\ell=4&5&6&7&\text{計}\\\hline k=0&0&0&0&0&0\\ k=1&3&3&3&3&12\\ k=2&0&0&1&2&3\\ k=3&1&0&0&0&1 \end{array}
である。したがって
p2=12+3+1144=19. p_2=\frac{12+3+1}{144}=\frac{1}{9}.

問4では、条件 T/2≦H≦TT/2\leqq H\leqq T を満たす最初の組が16通りあり、その各々に次郎の選び方が4通りずつあるので、条件を満たす全体は64通りである。この16通りのうち、(k,ℓ,m,n)=(1,ℓ,m,0)(k,\ell,m,n)=(1,\ell,m,0) となる12通りでは H=1H=1 で、次郎の r は 2 または 3r\text{ は }2\text{ または }3なので rs<1r^s<1 は起こらない。残る4通りは
(2,6,4,3), (2,7,4,3), (2,7,5,3), (3,4,7,2) (2,6,4,3),\ (2,7,4,3),\ (2,7,5,3),\ (3,4,7,2)
であり、それぞれ H=64, 64, 125, 49H=64,\ 64,\ 125,\ 49 である。いずれも次郎の r は 0 または 1r\text{ は }0\text{ または }1であり、袋Bの s は 4 以上s\text{ は }4\text{ 以上}だから rs<Hr^s<H が次郎の4通りの選び方すべてで成り立つ。よって有利な場合は16通りで、
p3=1664=14. p_3=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 積の法則
  • 順列
  • 確率の基本法則
  • 条件付き確率
  • 期待値

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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