2東京慈恵会医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

微分で囲まれた区間を定め、正の交点の極限をはさんだ後に面積を定積分で表す。

$f_n^{\prime}(x)=1-ne^{-nx}$, $f_n^{\prime\prime}(x)=n^2e^{-nx}>0$ だから $f_n$ は下に凸である。$f_n(0)=0$, $f_n^{\prime}(0)=1-n<0$, $f_n(1)=e^{-n}>0$ より、$x$ 軸との交点は $0$ とただ1つの正の数 $b_n$ であり、$0<b_n<1$ である。
任意の $0<\varepsilon<1$ に対し、$f_n(1-\varepsilon)=e^{-n(1-\varepsilon)}-\varepsilon<0$ は十分大きい $n$ で成り立つ。正の交点は1つだけなので $1-\varepsilon<b_n<1$。従って $b_n\to1$。
$0<x<b_n$ では $f_n(x)<0$ だから、囲まれた面積は $S_n=\int_0^{b_n}(1-x-e^{-nx})\,dx=b_n-\frac{b_n^2}{2}-\frac{1-e^{-nb_n}}{n}$。最後の項は $0\leqq(1-e^{-nb_n})/n\leqq1/n\to0$ である。よって $\lim_{n\to\infty}S_n=1-\frac12=\frac12$。