1宮崎大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$t=2^x>0$、$y=t+t^{-1}$ とおく。相加相乗平均より $y\geqq2$。また
$$t^3+t^{-3}=y^3-3y,\qquad t^2+t^{-2}=y^2-2.$$
したがって、与えられた左辺は
$$y^3-3y-(y^2-2)-11=(y-3)(y^2+2y+3)$$
と因数分解できる。$y^2+2y+3=(y+1)^2+2>0$ だから、不等式は $y\geqq3$ と同値である。

よって $t+t^{-1}\geqq3$。$t>0$ を掛けると $t^2-3t+1\geqq0$ となる。この二次式の根は $(3\pm\sqrt5)/2$ なので
$$0<t\leqq\frac{3-\sqrt5}{2}\quad\text{または}\quad t\geqq\frac{3+\sqrt5}{2}.$$
$t=2^x$ は増加関数で、$(3-\sqrt5)/2=((3+\sqrt5)/2)^{-1}$。したがって
$$x\leqq-\log_2\frac{3+\sqrt5}{2}\quad\text{または}\quad x\geqq\log_2\frac{3+\sqrt5}{2}.$$