2埼玉医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

導関数の符号で区間上の単調性と端点の極値を確かめ、同じ対数の上下界を小数の桁と二つの極限に使う。

問1では，$0\leqq x\leqq1$ において
$$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\geqq0,\\ g'(x)&=\frac{1}{1+x}-1+x-x^2=-\frac{x^3}{1+x}\leqq0. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\geqq 0,$$$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+x-x^2=-\frac{x^3}{1+x}\leqq 0.$$
ここで $1+x>0$ である。よって $f$ は増加し，$g$ は減少するので，最小値 $A$ と最大値 $B$ はともに端点 $x=0$ でとる。
$$A=f(0)=0,\qquad B=g(0)=0.$$
したがって枠12,13は $0,0$。

問2では $L=\log(1.2)=\log(6/5)$ とおく。$x=1/5$ を代入すると
$$f(1/5)=L-\left(\frac15-\frac1{50}\right)=L-\frac9{50}\geqq A=0,$$
また
$$g(1/5)=L-\left(\frac15-\frac1{50}+\frac1{375}\right) =L-\frac{137}{750}\leqq B=0.$$
したがって
$$0.18=\frac9{50}\leqq L\leqq\frac{137}{750}<\frac{19}{100}=0.19.$$
よって小数第2位の数字は $8$ であり，枠14は $8$。

問3では，問1の増減と $f(0)=g(0)=0$ から $0\leqq f(x)$，$g(x)\leqq0$ が $0\leqq x\leqq1$ で成り立つ。これらをそれぞれ書き換えると
$$x-\frac{x^2}{2}\leqq\log(1+x)\leqq x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$
$h(x)=(1+x)^{1/x}$ であるから
$$1-\frac{x}{2}\leqq\log h(x)=\frac{\log(1+x)}{x} \leqq1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}\qquad(0<x\leqq1).$$
両端は $x\to+0$ で $1$ に近づくので
$$\lim_{x\to+0}\log h(x)=1.$$
さらに $h(x)>0$ より
$$\frac{h'(x)}{h(x)}=(\log h(x))' =\frac{\frac{x}{1+x}-\log(1+x)}{x^2}.$$
上の対数の評価を用いると
$$\frac12-\frac{x}{3}-\frac1{1+x} \leqq\frac{h'(x)}{h(x)} \leqq\frac12-\frac1{1+x}.$$
両端は $x\to+0$ でともに $-\frac12$ に近づく。したがって
$$\lim_{x\to+0}\frac{h'(x)}{h(x)}=-\frac12.$$
枠15〜18は順に $1,-,1,2$。