1琉球大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 部分積分により
$$\int xe^{-x/2}\,dx=-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}+C.$$
したがって
$$\int_0^2 xe^{-x/2}\,dx=\left[-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}\right]_0^2=4-\frac8e.$$

(2) 積分で定まる定数を
$$A=\int_0^2\{f(t)-2\}t\,dt$$
とおくと、問題の式は $f(x)=e^{-x/2}+\frac32A$。これを $A$ の式へ代入して(1)を使うと
$$A=\left(4-\frac8e\right)+\left(\frac32A-2\right)\int_0^2t\,dt =\left(4-\frac8e\right)+3A-4 =3A-\frac8e.$$
よって $A=4/e$ であり、
$$f(x)=e^{-x/2}+\frac6e.$$
確認としてこの式を積分定義に代入すると
$$\int_0^2\{f(t)-2\}t\,dt=\left(4-\frac8e\right)+2\left(\frac6e-2\right)=\frac4e,$$
元の関数方程式を満たす。