1大阪公立大学 2025年 数学 第1問解答・解説

大阪公立大学 2025年度 数学 第1問

(1)

$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\geqq0$ であり、$\sin2x=2\sin x\cos x$ だから
$$|a\cos x-k\sin2x|=\cos x\,|a-2k\sin x|.$$
$t=\sin x$ と置換すると $dt=\cos x\,dx$、積分区間は $0\leqq t\leqq1$ となる。$0<a<2$、$k\geqq1$ より $c=\dfrac{a}{2k}$ は $0<c<1$ なので、絶対値の中身は $t=c$ で符号が変わる。
$$\begin{aligned} I_k&=\displaystyle\int_0^{c}(a-2kt)\,dt+\displaystyle\int_c^1(2kt-a)\,dt\\ &=(ac-kc^2)+\{k-kc^2-a+ac\}\\ &=\boxed{k-a+\dfrac{a^2}{2k}}. \end{aligned}$$$$I_k={\int }_0^c(a-2kt)dt+{\int }_c^1(2kt-a)dt$$$$=(ac-k{c}^2)+\{k-k{c}^2-a+ac\}$$$$=\boxed{k-a+\frac{a^2}{2k}}.$$

(2)

関数 $y=\dfrac{1}{x}$ は正の範囲で減少するので、各整数 $m=1,\cdots,n-1$ について
$$\dfrac1{m+1}<\displaystyle\int_m^{m+1}\dfrac{1}{x}\,dx<\dfrac1m.$$
区間を足し合わせると
$$\boxed{\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\dfrac1k<\log n<\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k}.$$
不等号は各小区間で関数が真に減少するため厳密である。

(3)

$H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$ とおく。問2より
$$\log n<H_n<1+\log n,$$
従って $\dfrac{H_n}{\log n}\to1$ であり、特に $\dfrac{H_n}{n^2}\to0$。問1の結果から
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}I_k =\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(k-a+\dfrac{a^2}{2k}\right) =\dfrac{n(n+1)}2-an+\dfrac{a^2}{2}H_n.$$
従って
$$J_n=\dfrac{(b+\dfrac12)n^2+(\dfrac12-a)n+\dfrac{a^2}{2}H_n}{\log n}.$$
数列 $J_n$ が収束すれば有界であるから、仮定された $\dfrac{n}{\log n}\to\infty$ により $\dfrac{\log n}{n^2}\to0$ を用いて
$$\dfrac{J_n\log n}{n^2} =b+\dfrac12+\dfrac{\dfrac12-a}{n}+\dfrac{a^2H_n}{2n^2}\longrightarrow0.$$
右辺の極限は $b+\dfrac12$ でもあるので
$$b=-\dfrac12.$$
この値を戻すと
$$J_n=\left(\dfrac12-a\right)\dfrac{n}{\log n} +\dfrac{a^2}{2}\dfrac{H_n}{\log n}.$$
第2項は有限値 $\dfrac{a^{2}}{2}$ に収束する。一方、$\dfrac{n}{\log n}\to\infty$ なので、第1項を含む全体が収束するためには $\dfrac12-a=0$ が必要である。従って
$$\boxed{a=\dfrac12,\qquad b=-\dfrac12}.$$
このとき
$$J_n=\dfrac18\dfrac{H_n}{\log n}\longrightarrow\boxed{\dfrac18}.$$
また $a=\dfrac{1}{2}$ は条件 $0<a<2$ を満たす。