北海道大学 2026年数学第2問解答・解説

1問題

北海道大学2026年度第2問

関数

f(x)

を次によって定める。

f (x) = \int_ {0} ^ {x} \left\{\sin (x - t) - \frac {t}{4} \right\} ^ {2} d t

次の問いに答えよ。

(1)

\displaystyle \int_{0}^{x} t \sin(x - t)\,dt

を x の式で表せ。

(2)

f(x)

を求めよ。

(3)

\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{3}}

を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$x-\sin x$ 。
(2)
$f(x)=\frac12\sin x-\frac14\sin2x+\frac{x^3}{48}=\frac12\sin x(1-\cos x)+\frac{x^3}{48}$ 。
(3)
$\frac{13}{48}$ 。

解答を見る途中式つきの解答

(1) 部分積分で

\int_0^x t\sin(x-t)\,dt =[t\cos(x-t)]_0^x-\int_0^x\cos(x-t)\,dt=x-\sin x.

(2) 定義の平方を展開して

u=x-t

と置き、(1)を使うと

\begin{aligned} f(x)&=\int_0^x\sin^2u\,du-\frac12\int_0^x t\sin(x-t)\,dt+\frac{x^3}{48}\\ &=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}-\frac{x-\sin x}{2}+\frac{x^3}{48}\\ &=\frac12\sin x(1-\cos x)+\frac{x^3}{48}. \end{aligned}

f (x) = \int_{0}^{x} sin^{2} u d u - \frac{1}{2} \int_{0}^{x} t sin (x - t) d t + \frac{x ^{3}}{48} = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} - \frac{x - sin x}{2} + \frac{x ^{3}}{48} = \frac{1}{2} sin x (1 - cos x) + \frac{x ^{3}}{48} .

(3) 半角公式を用いて

\frac{f(x)}{x^3} =\frac12\frac{\sin x}{x}\cdot\frac12\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2+\frac1{48} \longrightarrow\frac14+\frac1{48}=\frac{13}{48}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。