1富山大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+x+2$ とする。

(1) 方程式 $f(x)=0$ の実数解 $p$、$q$、$r$ $(p>q>r)$ を求めよ。

(2) 有理数 $A$、$B$、$C$、正の整数 $n$ に対して、$a_{n}$ を次のように定義する。
$$a_{n}=Ap^{n-1}+Bq^{n-1}+Cr^{n-1}$$
ただし、$p$、$q$、$r$ は(1)で求めた実数解である。

(a) $a_{1}=3$、$a_{2}=0$、$a_{3}=2$ のとき、$A$、$B$、$C$ の値をそれぞれ求めよ。

(b) すべての正の整数 $n$ に対して $a_{n}$ が整数であるための必要十分条件は、$A$、$B$、$C$ がすべて整数かつ $B=C$ が成り立つことであることを示せ。