5久留米大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) $l_1$ の傾きは $a-p$、接線 $l_2$ の傾きは $-2p+a$ である。直交条件は $(a-p)(a-2p)=-1$、すなわち $$2p^2-3ap+a^2+1=0.$$ この二次方程式の判別式は $a^2-8$ である。$a<\sqrt8$ なら実数解がなく、$a=\sqrt8$ なら重解 $p=\frac{3a}{4}$ が一つだけある。$a>\sqrt8$ なら $$p=\frac{3a\pm\sqrt{a^2-8}}{4}.$$ このとき $0<\sqrt{a^2-8}<a$ より、両方の解は $0<p<a$ を満たす。したがって、条件を満たす $p$ がただ一つとなるのは $a=\sqrt8=2\sqrt2$ のときで、そのとき $p=\frac{3a}{4}=\frac{3}{\sqrt2}$ である。よって $\boxed{\text{は}}=2,\boxed{\text{ひ}}=2,\boxed{\text{ふ}}=3,\boxed{\text{へ}}=2$ である。
(2) 以後 $a=2\sqrt2,\ p=\frac3{\sqrt2}$ とする。直線 $l_1$ は $y=\frac{x}{\sqrt2}$、点 $Q$ は $(q,-q^2+2\sqrt2q)$ である。$l_1$ に垂直な直線 $l_3$ の傾きは $-\sqrt2$ なので、$$l_3:\quad y-(-q^2+2\sqrt2q)=-\sqrt2(x-q).$$ これと $l_1$ の交点は $$R=\left(2q-\frac{\sqrt2}{3}q^2,\sqrt2q-\frac13q^2\right).$$ $0\leqq q\leqq\frac3{\sqrt2}$ では $2-\frac{\sqrt2q}{3}\geqq1$ なので $x_R\geqq0$。よって
$$OR=\sqrt{1+\frac12}\left(2q-\frac{\sqrt2}{3}q^2\right) =\frac{3\sqrt2q-q^2}{\sqrt3}.$$
また $Q-R$ の成分を $d_x,d_y$ とすると
$$d_x=-q+\frac{\sqrt2}{3}q^2,\qquad d_y=\sqrt2q-\frac23q^2=-\sqrt2d_x.$$
さらに $0\leqq q\leqq\frac3{\sqrt2}$ なら $q(3-\sqrt2q)\geqq0$ だから、
$$QR=\sqrt{d_x^2+d_y^2}=\sqrt3\,|d_x| =\sqrt3q-\frac{\sqrt6}{3}q^2 =\frac{3q-\sqrt2q^2}{\sqrt3}.$$ したがって $\boxed{\text{ほ}}=3,\boxed{\text{ま}}=3,\boxed{\text{み}}=2,\boxed{\text{む}}=3,\boxed{\text{め}}=3,\boxed{\text{も}}=2$。
(3) 回転軸に垂直な断面は中心 $R$、半径 $QR$ の円である。その面積は $$\pi QR^2=\frac{\pi}{3}(3q-\sqrt2q^2)^2=\frac{\pi}{3}(9q^2-6\sqrt2q^3+2q^4).$$ よって $\boxed{\text{や}}=9,\boxed{\text{ゆ}}=6,\boxed{\text{よ}}=2,\boxed{\text{ら}}=2$。$z=OR$ とおくと、$$\frac{dz}{dq}=\frac{d}{dq}\left(\frac{3\sqrt2q-q^2}{\sqrt3}\right)=\frac{3\sqrt2-2q}{\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{3}(3-\sqrt2q)\geqq0\quad\left(0\leqq q\leqq\frac3{\sqrt2}\right),$$ したがって $q$ は軸上の位置を一度ずつたどる。回転体の体積は、変数 $q$ を $0$ から $p=\frac3{\sqrt2}$ まで動かして $$\begin{aligned}V&=\int_0^{3/\sqrt2}\pi QR^2\frac{d(OR)}{dq}\,dq=\frac{\pi\sqrt6}{9}\int_0^{3/\sqrt2}q^2(3-\sqrt2q)^3\,dq\\&=\frac{\pi\sqrt6}{9}\cdot\frac{729}{2\sqrt2}\int_0^1t^2(1-t)^3\,dt\quad\left(t=\frac{\sqrt2q}{3}\right)\\&=\frac{\pi\sqrt6}{9}\cdot\frac{729}{120\sqrt2}=\frac{27\sqrt3}{40}\pi.\end{aligned}$$$$V={\int }_0^{3/\sqrt{2}}\pi Q{R}^2\frac{d(OR)}{dq}dq=\frac{\pi \sqrt{6}}{9}{\int }_0^{3/\sqrt{2}}{q}^2(3-\sqrt{2}q{)}^{3}dq$$$$=\frac{\pi \sqrt{6}}{9}\cdot \frac{729}{2\sqrt{2}}{\int }_0^1{t}^2(1-t{)}^{3}dt\left(t=\frac{\sqrt{2}q}{3}\right)$$$$=\frac{\pi \sqrt{6}}{9}\cdot \frac{729}{120\sqrt{2}}=\frac{27\sqrt{3}}{40}\pi .$$ ここで $\int_0^1t^2(1-t)^3dt=\frac1{60}$ は展開して積分すると得られる。したがって $\boxed{\text{り}}=2,\boxed{\text{る}}=7,\boxed{\text{れ}}=3,\boxed{\text{ろ}}=4,\boxed{\text{わ}}=0$。