1名古屋大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) $\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$ の方程式はそれぞれ $y=\dfrac{x}{a^{2}}$、$y=\dfrac{x}{b^{2}}$ である。$0<a<b$ なので、$\mathrm{OA}$ の傾きの方が大きい。
$0\leqq x\leqq a$ では 2 直線にはさまれ、$a\leqq x\leqq b$ では曲線と $\mathrm{OB}$ にはさまれるから、
$$S=\int_{0}^{a}\left(\frac{x}{a^{2}}-\frac{x}{b^{2}}\right)dx+\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{b^{2}}\right)dx.$$
これを計算すると
$$S=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)+\log\frac{b}{a}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)=\log\frac{b}{a}.$$

(2) $\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$ の正の $x$ 軸となす角を $\alpha$、$\beta$ とする。$\tan\alpha=\dfrac{1}{a^{2}}$、$\tan\beta=\dfrac{1}{b^{2}}$、$\theta=\alpha-\beta$ である。
$$\tan\theta=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{b^{2}-a^{2}}{1+a^{2}b^{2}}.$$
$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ より $b^{2}-a^{2}=1+a^{2}b^{2}$ である。したがって $b^{2}=\dfrac{1+a^{2}}{1-a^{2}}$。$b>0$ だから
$$b=\sqrt{\frac{1+a^{2}}{1-a^{2}}}.$$

(3) $t=a^{2}\ (0<t<1)$ とおくと、(1)(2) から
$$S=\frac{1}{2}\log\frac{1+t}{t(1-t)}.$$
$\log x$ は増加関数なので、$f(t)=\dfrac{1+t}{t(1-t)}$ を最小にすればよい。
$$\frac{1+t}{t(1-t)}-(3+2\sqrt{2})=\frac{(3+2\sqrt{2})\bigl(t-(\sqrt{2}-1)\bigr)^{2}}{t(1-t)}\geqq 0.$$
分母は正であり、等号は $t=\sqrt{2}-1$ のときに限る。よって $a=\sqrt{\sqrt{2}-1}$、$S_{\min}=\log(1+\sqrt{2})$ である。