4鹿児島大学 2026年 数学 第4問解答・解説

自然数 $n$ に対し、定積分 $I_n$ を次のように定める。
$$I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\dfrac{3x+1}{(x+2)(x^{2}+1)}\,dx$$

(1) 次の式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a,b,c$ の値を求めよ。
$$\dfrac{3x+1}{(x+2)(x^{2}+1)}=\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{bx+c}{x^{2}+1}$$

(2) $\tan\theta_n=n,\quad0<\theta_n<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす $\theta_n$ が存在することを示せ。
(3) $I_n$ を求めよ。ただし、$n,\theta_n$ を用いてよい。
(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n$ を求めよ。ただし、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\theta_n=\frac{\pi}{2}$ を用いてよい。