4筑波大学 2024年 数学 第4問解答・解説

部分積分で必要な積分を先に求める。x(t)を平方完成して垂直線との交点数を数え、折り返す媒介変数曲線の面積は二枝の差として定積分する。

(1) 部分積分により
$$\int_0^1 t\sin\pi t\,dt =\left[-\frac{t\cos\pi t}{\pi}\right]_0^1 +\frac1\pi\int_0^1\cos\pi t\,dt =\frac1\pi.$$

(2) $x(t)=-t(t-\frac32)=\frac{9}{16}-(t-\frac34)^2$。したがって $0\leqq t\leqq\frac34$ では $x$ は $0$ から $\frac{9}{16}$ まで増え、$\frac34\leqq t\leqq1$ では $\frac{9}{16}$ から $\frac12$ まで減る。二枝の範囲を合わせると
$$N(a)= \begin{cases} 0,&a<0\text{ または }a>\frac{9}{16},\\ 1,&0\leqq a<\frac12\text{ または }a=\frac{9}{16},\\ 2,&\frac12\leqq a<\frac{9}{16}. \end{cases}$$
$a=\frac12$ では $t=\frac12,1$ の二点、$a=\frac{9}{16}$ では頂点 $t=\frac34$ の一点である。異なる $t,u$ で $x(t)=x(u)$ なら $t+u=\frac32$。一方、$0\leqq t,u\leqq1$ で $\sin\pi t=\sin\pi u$ なら $t=u$ または $t+u=1$ なので、異なる根は異なる点を与える。

(3) $x'(t)=\frac32-2t$。$t=\frac34$ まで曲線は右向きに進み、その後は左向きに戻る。したがって、後半の負の寄与が重なった二枝の間の部分を差し引き、囲まれた面積は
$$A=\int_0^1 y(t)x'(t)\,dt =\frac32\int_0^1\sin\pi t\,dt -2\int_0^1t\sin\pi t\,dt =\frac32\cdot\frac2\pi-2\cdot\frac1\pi =\frac1\pi.$$