群馬大学 2024年数学第5問解答・解説

1問題

群馬大学2024年度第5問

n

は自然数とし、

a

は

0 < a \leqq 1

を満たす定数とする。

\displaystyle I_{n} = \dfrac{1}{n!}\int_{0}^{a}(a - x)^{n}e^{x}\,dx

とおく。ただし、

e

は自然対数の底である。

(1)

I_{1}

を求めよ。

(2) 極限

\displaystyle \lim_{n\to\infty}I_{n}

を求めよ。

(3)

I_{n+1}

を

I_{n}

を用いて表せ。

(4) (3) までの結果を用いて、無限級数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a^n}{n!}

の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\begin{aligned}(1)\;&I_1=e^a-a-1,\\(2)\;&\lim_{n\to\infty}I_n=0,\\(3)\;&I_{n+1}=I_n-\frac{a^{n+1}}{(n+1)!},\\(4)\;&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}=e^a-1.\end{aligned}$ $(1) I_{1} = e^{a} - a - 1, (2) n \to \infty lim I_{n} = 0, (3) I_{n + 1} = I_{n} - \frac{a ^{n + 1}}{( n + 1 )!}, (4) n = 1 \sum \infty \frac{a ^{n}}{n !} = e^{a} - 1.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

解答

(1)

1!=1

より

I_1=\int_0^a(a-x)e^x\,dx =\left[(a-x+1)e^x\right]_0^a =e^a-a-1.

(2)

0<a\leqq1

および

0\leqq x\leqq a

から

0\leqq e^x\leqq e^a

、

0\leqq a-x\leqq a

である。したがって

0\leqq I_n\leqq\frac{e^a}{n!}\int_0^a(a-x)^n\,dx =\frac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!} \leqq\frac{e}{(n+1)!}\longrightarrow0.

よって

\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=0

。
(3) 部分積分により

\begin{aligned} (n+1)!I_{n+1} &=\int_0^a(a-x)^{n+1}e^x\,dx\\ &=\left[(a-x)^{n+1}e^x\right]_0^a +(n+1)\int_0^a(a-x)^ne^x\,dx\\ &=-a^{n+1}+(n+1)!I_n. \end{aligned}

(n + 1)! I_{n + 1} = \int_{0}^{a} (a - x)^{n + 1} e^{x} d x = [(a - x)^{n + 1} e^{x}]_{0}^{a} + (n + 1) \int_{0}^{a} (a - x)^{n} e^{x} d x = - a^{n + 1} + (n + 1)! I_{n} .

したがって

I_{n+1}=I_n-\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}.

(4) これを

n=1,\ldots,N-1

について足すと

\sum_{n=1}^N\frac{a^n}{n!} =a+\sum_{n=1}^{N-1}(I_n-I_{n+1}) =a+I_1-I_N.

(2)より

N\to\infty

とすると

I_N\to0

なので

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!} =a+I_1=e^a-1.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

部分積分法
三角・指数・対数関数等の積分
数列の極限
総和記号と数列の和
階差・和の利用
不定積分・定積分の性質
漸化式

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

5群馬大学 2024年数学第5問解答・解説

1問題

2答え

3解答

考え方

解答

次にやること

似た問題を、ほかの大学で