1高知大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1)

方程式 $x^{2}-4x+y^{2}-6y+a=0$ を平方完成すると
$$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13-a$$
となる。これは中心 $(2,\,3)$、半径 $\sqrt{13-a}$（$13-a>0$ のとき）の円を表す方程式である。

これを満たす実数の組 $(x,y)$ が存在するのは、右辺が非負であり、かつそのときに限り、円周上の点として実現できるからである。すなわち
$$13-a\geqq0\quad\text{すなわち}\quad a\leqq13$$
のとき実数解 $(x,y)$ が存在し（$a=13$ のときは唯一の点 $(2,\,3)$）、$13-a<0$ のときは左辺が非負であるのに対し右辺が負となり、実数解は存在しない。

よって、実数の組 $(x,y)$ が存在しないような $a$ の値の範囲は
$$a>13$$

(2)

$|x|$、$|y|$ を含む式なので、$x$、$y$ の符号によって場合分けする。座標平面は $x$ 軸・$y$ 軸によって 4 つの部分（各象限、境界含む）に分けられる。

(i) $x\geqq0$、$y\geqq0$ のとき（第 1 象限）
$|x|=x$、$|y|=y$ であるから、不等式は
$$x^{2}-4x+y^{2}-6y-23\leqq0$$
と書ける。平方完成すると
$$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}\leqq36$$
となり、これは中心 $(2,\,3)$、半径 $6$ の円の内部および周（円板）を表す。したがって、対応する部分 $D_{1}$ は
$$x\geqq0,\qquad y\geqq0,\qquad(x-2)^{2}+(y-3)^{2}\leqq36$$
をすべて満たす点 $(x,y)$ 全体である。

(ii) 〜 (iv) 他の象限
同様に、
$$x\leqq0,\ y\geqq0\ \text{のとき}\quad(x+2)^{2}+(y-3)^{2}\leqq36\quad(=D_{2})$$
$$x\leqq0,\ y\leqq0\ \text{のとき}\quad(x+2)^{2}+(y+3)^{2}\leqq36\quad(=D_{3})$$
$$x\geqq0,\ y\leqq0\ \text{のとき}\quad(x-2)^{2}+(y+3)^{2}\leqq36\quad(=D_{4})$$
がそれぞれ対応する範囲である。$D$ は $D_{1},\,D_{2},\,D_{3},\,D_{4}$ を合わせた領域であり、もとの式が $|x|$、$|y|$ のみで決まることから、$D$ は $x$ 軸・$y$ 軸（したがって原点）に関して対称である。

境界の形状（第 1 象限での詳細）
円 $C_{1}:(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=36$ を $x=2+6\cos\theta$、$y=3+6\sin\theta$ とパラメータ表示すると、
$$x\geqq0\ \text{すなわち}\ \cos\theta\geqq-\dfrac{1}{3},\qquad y\geqq0\ \text{すなわち}\ \sin\theta\geqq-\dfrac{1}{2}$$
であり、この 2 条件を同時に満たす $\theta$ の範囲は
$$-30^{\circ}\leqq\theta\leqq\theta_{0}\qquad\left(\cos\theta_{0}=-\dfrac{1}{3},\ 0^{\circ}<\theta_{0}<180^{\circ}\right)$$
である。$\theta_{0}\fallingdotseq109.47^{\circ}$ である。両端の値は
$$\theta=-30^{\circ}:\ (x,\,y)=(2+3\sqrt{3},\,0),\qquad\theta=\theta_{0}:\ (x,\,y)=(0,\,3+4\sqrt{2})$$
であり（前者は $y=0$ における $C_{1}$ との交点、後者は $x=0$ における交点）、この範囲の $\theta$ に対応する弧が第 1 象限内での $D$ の境界である。この弧は $\theta=0^{\circ}$ で最も右（$(8,\,3)$）に、$\theta=90^{\circ}$ で最も上（$(2,\,9)$）に達する。

対称性より、第 2 象限の境界は円 $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=36$ の対応する弧（点 $(0,\,3+4\sqrt{2})$ から $(-2,\,9)$、$(-8,\,3)$ を通り $(-2-3\sqrt{3},\,0)$ まで）となる。第 3・第 4 象限も同様に、円 $(x+2)^{2}+(y+3)^{2}=36$、$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=36$ の対応する弧となる。

図示
以上より、領域 $D$ は次のような閉じた図形である。
・ $x$ 軸上の点 $(2+3\sqrt{3},\,0)$（$\fallingdotseq(7.20,\,0)$）と $(-2-3\sqrt{3},\,0)$、および $y$ 軸上の点 $(0,\,3+4\sqrt{2})$（$\fallingdotseq(0,\,8.66)$）と $(0,\,-3-4\sqrt{2})$ の 4 点で、隣り合う 2 つの円弧が滑らかにつながらない「角」を作る（$D$ の境界はこの 4 点でわずかに内側にへこむ）。
・ その間を、半径 $6$ の円弧が外側にふくらんで結び、各弧は $(\pm8,\,\pm3)$（$x$ 座標の絶対値が最大の点）および $(\pm2,\,\pm9)$（$y$ 座標の絶対値が最大の点）を通る。
・ 全体として原点・$x$ 軸・$y$ 軸に関して対称な、角の丸い十字（花びら状）の図形になる。境界を含む（$\leqq$ なので）。

(3)

点 $(5-3\sqrt{5},\ 4\sqrt{5})$ の符号を調べる。$\sqrt{5}=2.236\cdots$ より $3\sqrt{5}=6.708\cdots>5$ であるから、
$$x=5-3\sqrt{5}<0,\qquad y=4\sqrt{5}>0$$
である。よってこの点は第 2 象限（$x\leqq0$、$y\geqq0$）に属するので、(2) の場合分け (ii) の式、すなわち
$$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}\leqq36$$
を用いて判定すればよい。

$x+2=7-3\sqrt{5}$ より $(x+2)^{2}=(7-3\sqrt{5})^{2}=49-42\sqrt{5}+45=94-42\sqrt{5}$。
$y-3=4\sqrt{5}-3$ より $(y-3)^{2}=(4\sqrt{5}-3)^{2}=80-24\sqrt{5}+9=89-24\sqrt{5}$。
であるから
$$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=(94-42\sqrt{5})+(89-24\sqrt{5})=183-66\sqrt{5}.$$

これと $36$ の大小を比較する。$183-66\sqrt{5}\leqq36$ は $147\leqq66\sqrt{5}$ と同値であり、両辺とも正なので 2 乗して比較できる。
$$147^{2}=21609,\qquad(66\sqrt{5})^{2}=66^{2}\times5=4356\times5=21780$$
$21609<21780$ より $147<66\sqrt{5}$ が成り立つ。したがって
$$183-66\sqrt{5}<36$$
すなわち $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}<36$ が成り立つ。

さらに $x<0$、$y>0$ であることは既に確認した。以上より、点 $(5-3\sqrt{5},\,4\sqrt{5})$ は $x\leqq0$、$y\geqq0$ の範囲で $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}<36$ を満たすので、(2) の領域 $D$ に属する（境界ではなく内部の点である）。