1兵庫医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

次の (1) から (5) までの各問いに答えよ。なお、途中の式や考え方等も記入すること。
(1) 次の式を簡単にせよ。
$$(\log_{2} 40)^{2}-\frac{\log_{2}10}{\log_{160}2}$$
(2) A と B の 2 つの袋がある。A には赤球が 2 個と白球が 2 個入っており、B には赤球が 1 個と白球が 3 個入っている。今いずれかの袋から 1 個、球を取り出したところ、赤球であった。それが袋 A から取り出された確率と袋 B から取り出された確率を、それぞれ求めよ。ただし、いずれの袋を選ぶのかは同様に確からしいとする。
(3) $\triangle ABC$ の辺 $BC$、$CA$、$AB$ 上に、それぞれ点 $P$、$Q$、$R$ を
$$\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{QA}}{\mathrm{CQ}}=\frac{\mathrm{RB}}{\mathrm{AR}}=\frac{1}{3}$$
を満たすようにとる。さらに、線分 $AP$ と $BQ$、線分 $BQ$ と $CR$、線分 $CR$ と $AP$ の交点をそれぞれ、$D$、$E$、$F$ とする。
(a) $\dfrac{PF}{FA}$ を求めよ。
(b) $\dfrac{PD}{DA}$ を求めよ。
(4) 実数 $x$、$y$ が $4x^{2}+9y^{2}=36$ を満たして変化するとき、$x+y$ の最大値を求めよ。また、そのときの $x$ と $y$ の値をそれぞれ求めよ。
(5) 19 で割ると 2 余り、21 で割ると 5 余る、4 桁の自然数の中で最小のものを求めよ。