5愛媛大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1)(i) 直線 $y=-2x$ と円 $x^2+y^2=10$ の交点は、$y=-2x$ を代入して $5x^2=10$ とすることにより、$(-\sqrt2,2\sqrt2)$、$(\sqrt2,-2\sqrt2)$ と求まる。したがって $D_1$ は、円盤 $x^2+y^2\leqq10$ のうち半平面 $y\geqq-2x$ 側にある部分である。この2点を結ぶ弦と、点 $(0,\sqrt{10})$ を通る円弧で囲まれた閉半円盤が $D_1$ である。

(1)(ii) 点 $P(1,t)$ が $D_1$ に属するための条件は
$$1+t^2\leqq10,\qquad t\geqq-2$$
であるから、$-3\leqq t\leqq3$ かつ $t\geqq-2$、すなわち $-2\leqq t\leqq3$ である。一方、点 $P(1,t)$ が $D_2$ に属さないためには $1+t^2>4$、すなわち $t<-\sqrt3$ または $t>\sqrt3$ が必要十分である。これらを合わせると
$$-2\leqq t<-\sqrt3,\qquad \sqrt3<t\leqq3$$
を得る。

(2)(i) $n=1$ のとき $1!=1=2^0$ なので成り立つ。ある自然数 $m$ について $m!\geqq2^{m-1}$ と仮定する。このとき $m\geqq1$ より $m+1\geqq2$ であるから、
$$(m+1)!= (m+1)m!\geqq2\cdot2^{m-1}=2^m$$
となる。よって $n=m+1$ でも成り立つ。以上より、数学的帰納法によってすべての自然数 $n$ について $n!\geqq2^{n-1}$ が成り立つ。

(2)(ii) (i)より、自然数 $k$ について $k!\geqq2^{k-1}>0$ だから
$$\frac1{k!}\leqq\frac1{2^{k-1}}.$$
したがって
$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{k!} \leqq\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^{k-1}} =\frac{1-(1/2)^n}{1-1/2} =2(1-2^{-n})<2.$$
よって示された。

(3)(i)(ii) 隣り合う角の差を $\alpha=\theta_2-\theta_1$、$\beta=\theta_3-\theta_2$、$\gamma=\theta_4-\theta_3$、$\delta=\theta_5-\theta_4$ とおく。各差は $0$ と $\pi$ の間にある。また、座標表示と内積の公式から
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}_i}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}_j} =\cos(\theta_j-\theta_i)\quad(i<j)$$
である。よって条件から $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ がいずれも0より大きく $\pi$ より小さいことと余弦の単調性より、$\alpha=\beta=\frac{\pi}{6}$、$\gamma=\delta$ であり、$\cos\gamma=\frac23$ となる。ここで $\sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}=\sqrt5/3$ である。

(i)では $\theta_4-\theta_2=\beta+\gamma$ なので、加法定理より
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}_4} =\cos(\beta+\gamma) =\cos\frac{\pi}{6}\cos\gamma-\sin\frac{\pi}{6}\sin\gamma =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac23-\frac12\cdot\frac{\sqrt5}{3} =\frac{2\sqrt3-\sqrt5}{6}.$$

(ii)では $\theta_5-\theta_1=\alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi/3+2\gamma$ だから
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}_5} =\cos\left(\frac{\pi}{3}+2\gamma\right).$$
さらに
$$\cos2\gamma=2\cos^2\gamma-1=-\frac19,\qquad \sin2\gamma=2\sin\gamma\cos\gamma=\frac{4\sqrt5}{9}$$
より、
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+2\gamma\right) =\frac12\left(-\frac19\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4\sqrt5}{9} =-\frac{1+4\sqrt{15}}{18}.$$