5北海道大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1)

$x$、$y$ を実数として $z=x+yi$ とおく。①は
$$z\overline{z}=x^{2}+y^{2}=4$$
なので、複素数平面上では原点を中心とする半径 $2$ の円である。②の両辺を二乗すると
$$x^{2}+y^{2}=(x-\sqrt{3})^{2}+(y+1)^{2}$$
であり、整理して
$$y=\sqrt{3}\,x-2$$
を得る。これは原点と点 $(\sqrt{3},\,-1)$ から等距離にある点の軌跡で、直線である。両方の図形と交点を図示すると次の図になる。

(2)

円の式へ直線の式を代入すると、$x^{2}+(\sqrt{3}\,x-2)^{2}=4$ であるための必要十分条件は $4x(x-\sqrt{3})=0$ である。したがって交点は $(x,y)=(0,-2),\,(\sqrt{3},\,1)$ であり、共通解は
$$z=-2i,\quad z=\sqrt{3}+i.$$

(3)

共通解の積は
$$w=(-2i)(\sqrt{3}+i)=2-2\sqrt{3}\,i=4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right).$$
よって任意の整数 $n$ に対し
$$w^{n}=4^{n}\left(\cos\left(-\dfrac{n\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{n\pi}{3}\right)\right).$$
$4^{n}>0$ なので、$w^{n}$ が負の実数となるのは偏角が奇数倍の $\pi$ となるとき、すなわち
$$-\dfrac{n\pi}{3}\equiv\pi\pmod{2\pi}$$
が成り立つときである。これは $n\equiv3\pmod{6}$ と同値である。すなわち $n=6k+3$（$k$ は整数）である。