1福井大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\alpha=a+bi$（$a,\,b$は実数）とおく。条件$|\alpha|=|\alpha-2|$を2乗して整理すると
$$a^{2}+b^{2}=(a-2)^{2}+b^{2}$$
となる。したがって$a=1$、すなわち$\alpha$の実部は1である。

以下、$\alpha=1+it$（$t$は実数）とおく。条件式は
$$\alpha^{2}+\beta^{2}-2\alpha-2\beta+2=(\alpha-1)^{2}+(\beta-1)^{2}=0$$
と変形できるので、$(\beta-1)^{2}=t^{2}$である。よって
$$(\beta-1-t)(\beta-1+t)=0$$
から$\beta=1+st$（$s=1$または$s=-1$）を得る。

(2)

$z=\alpha\beta$とし、$X$を$z$の実部、$Y$を$z$の虚部とおくと
$$X=1+st,\qquad Y=t+st^{2}=t(1+st)=tX.$$
ここで$t=s(X-1)$だから、$s=1$では$Y=X^{2}-X$、$s=-1$では$Y=-X^{2}+X$となる。逆に、任意の実数$X$に対し、$s$を$1,\,-1$のいずれかとして$t=s(X-1)$とすればその点が得られる。したがって軌跡は
$$Y=X^{2}-X\quad\text{または}\quad Y=-X^{2}+X\qquad(X\text{は実数})$$
の二つの放物線全体である。頂点はそれぞれ$\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{1}{4}\right)$、$\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4}\right)$、交点は$(0,\,0)$と$(1,\,0)$である。図は両方の放物線を描いたものである。

(3)

偏角の条件が定義されるため$t\ne0$である。また
$$\dfrac{\beta-1}{\alpha-1}=\dfrac{st}{it}=-si$$
だから、偏角が$\dfrac{\pi}{2}$となるのは$s=-1$の場合である。したがって$\beta=1-t$である。

三次方程式の係数は実数なので、$\alpha=1+it$が根ならその共役$\overline{\alpha}=1-it$も根である。$t\ne0$なので二根は異なり、残る根は実数$\beta=1-t$である。解と係数の関係から、根の二つずつの積の和は$\dfrac{18}{8}=\dfrac{9}{4}$だから
$$\alpha\overline{\alpha}+\beta(\alpha+\overline{\alpha})=(1+t^{2})+2(1-t)=t^{2}-2t+3=\dfrac{9}{4}.$$
よって
$$\left(t-\dfrac{1}{2}\right)\left(t-\dfrac{3}{2}\right)=0.$$
さらに根の積は$\dfrac{5}{8}$なので
$$(1+t^{2})(1-t)=\dfrac{5}{8}.$$
$t=\dfrac{1}{2}$ではこの等式が成り立つが、$t=\dfrac{3}{2}$では左辺が$-\dfrac{13}{8}$となる。したがって$t=\dfrac{1}{2}$であり、
$$\alpha=1+\dfrac{i}{2},\qquad\beta=\dfrac{1}{2}.$$
根の和$\dfrac{5}{2}$は$-\dfrac{k}{8}$に等しいから、$k=-20$である。実際、
$$8x^{3}-20x^{2}+18x-5=(2x-1)(4x^{2}-8x+5)$$
であり、その根は$\dfrac{1}{2}$、$1+\dfrac{i}{2}$、$1-\dfrac{i}{2}$となり、求めた値と一致する。