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1 大阪大学 2025年 数学 第1問解答・解説 二次関数 図形と方程式 ベクトル
1 問題2 解答1 問題大阪大学 2025 年度第1問
平面上の三角形
O A B OAB O A B を考える。
∠ A O B \angle AOB ∠ A O B は鋭角、
O A = 3 OA=3 O A = 3 、
O B = t OB=t O B = t とする。また、点
A A A から直線
O B OB O B に下ろした垂線と直線
O B OB O B の交点を
C C C とし、
O C = 1 OC=1 O C = 1 とする。線分
A B AB A B を
2 : 1 2:1 2 : 1 に内分する点を
P P P 、点
A A A から直線
O P OP O P に下ろした垂線と直線
O B OB O B との交点を
R R R とする。
(1) 内積
O A → ⋅ O B → \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} O A ⋅ O B を
t t t を用いて表せ。
(2) 線分
O R OR O R の長さを
t t t を用いて表せ。
(3) 線分
O B OB O B の中点を
M M M とする。点
R R R が線分
M B MB M B 上にあるとき、
t t t のとりうる値の範囲を求めよ。
（配点率
20 % 20\% 20% ）
まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。
2 解答解答を見る 途中式つきの解答 解答 直線
O B OB O B を
x x x 軸、
O O O を原点とし、
O B → \overrightarrow{OB} O B の向きを正にとる。
∠ A O B \angle AOB ∠ A O B は鋭角で、
C C C は
A A A から直線
O B OB O B への垂線の足であり、
O C = 1 OC=1 O C = 1 だから、
A A A の
x x x 座標は1である。
O A = 3 OA=3 O A = 3 より、上下対称なので正の側にとれば
O = ( 0 , 0 ) , B = ( t , 0 ) , A = ( 1 , 2 2 ) , t > 0.
O=(0,0),\qquad B=(t,0),\qquad A=(1,2\sqrt2),\qquad t>0.
O = ( 0 , 0 ) , B = ( t , 0 ) , A = ( 1 , 2 2 ) , t > 0. (1) 成分で内積を計算すると
O A → ⋅ O B → = ( 1 , 2 2 ) ⋅ ( t , 0 ) = t .
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(1,2\sqrt2)\cdot(t,0)=t.
O A ⋅ O B = ( 1 , 2 2 ) ⋅ ( t , 0 ) = t . (2)
A P : P B = 2 : 1 AP:PB=2:1 A P : P B = 2 : 1 なので
P = A + 2 B 3 = ( 1 + 2 t 3 , 2 2 3 ) .
P=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{1+2t}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right).
P = 3 A + 2 B = ( 3 1 + 2 t , 3 2 2 ) . R = ( r , 0 ) R=(r,0) R = ( r , 0 ) とおく。
A R ⊥ O P AR\perp OP A R ⊥ O P より
( 1 − r , 2 2 ) ⋅ ( 1 + 2 t 3 , 2 2 3 ) = 0 ,
(1-r,2\sqrt2)\cdot\left(\frac{1+2t}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right)=0,
( 1 − r , 2 2 ) ⋅ ( 3 1 + 2 t , 3 2 2 ) = 0 , すなわち
( 1 − r ) ( 1 + 2 t ) + 8 = 0 , r = 2 t + 9 2 t + 1 .
(1-r)(1+2t)+8=0,\qquad r=\frac{2t+9}{2t+1}.
( 1 − r ) ( 1 + 2 t ) + 8 = 0 , r = 2 t + 1 2 t + 9 . t > 0 t>0 t > 0 だから
r > 0 r>0 r > 0 。したがって
O R = r = 2 t + 9 2 t + 1 .
OR=r=\frac{2t+9}{2t+1}.
O R = r = 2 t + 1 2 t + 9 . (3)
M = ( t / 2 , 0 ) M=(t/2,0) M = ( t /2 , 0 ) であり、
R R R が線分
M B MB M B 上にある条件は
t / 2 ≦ r ≦ t t/2\leqq r\leqq t t /2 ≦ r ≦ t 。
2 t + 1 > 0 2t+1>0 2 t + 1 > 0 を用いてそれぞれ解くと
r ≦ t すなわち 2 t 2 − t − 9 ≧ 0 すなわち t ≧ 1 + 73 4 , r ≧ t 2 すなわち 2 t 2 − 3 t − 18 ≦ 0 すなわち 0 < t ≦ 3 + 3 17 4 .
\begin{aligned}
r\leqq t&\quad\text{すなわち}\quad 2t^2-t-9\geqq0
\quad\text{すなわち}\quad t\geqq\frac{1+\sqrt{73}}4,\\
r\geqq\frac t2&\quad\text{すなわち}\quad 2t^2-3t-18\leqq0
\quad\text{すなわち}\quad 0<t\leqq\frac{3+3\sqrt{17}}4.
\end{aligned}
r ≦ t r ≧ 2 t すなわち 2 t 2 − t − 9 ≧ 0 すなわち t ≧ 4 1 + 73 , すなわち 2 t 2 − 3 t − 18 ≦ 0 すなわち 0 < t ≦ 4 3 + 3 17 . r ≦ t すなわち 2 t 2 − t − 9 ≧ 0 すなわち t ≧ 4 1 + 73 , r ≧ 2 t すなわち 2 t 2 − 3 t − 18 ≦ 0 すなわち 0 < t ≦ 4 3 + 3 17 . よって
1 + 73 4 ≦ t ≦ 3 + 3 17 4 .
\frac{1+\sqrt{73}}4\leqq t\leqq\frac{3+3\sqrt{17}}4.
4 1 + 73 ≦ t ≦ 4 3 + 3 17 . 読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
この問題で使う考え方
二次不等式とグラフ 内分・外分点 ベクトルの成分表示 ベクトルの内積 位置ベクトル ベクトルによる図形の考察 答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせ から教えてください。
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