2香川大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$u=t+1$ とおく。問(1)では $u$ は実数全体を動き、問(2)では $0\leqq u\leqq2$ である。直線の式は
$$y=-ux+u^2+3$$
となる。まず $x$ を固定し、$g_x(u)=u^2-xu+3$ の値の範囲を調べる。

(1) $u$ に制限がないとき、平方完成により
$$g_x(u)=\left(u-\frac{x}{2}\right)^2+3-\frac{x^2}{4}.$$
$\left(u-\frac{x}{2}\right)^2\geqq0$ であり、任意の $x$ に対して $u=\frac{x}{2}$ を選べる。よって、この $x$ で直線が通過する点の $y$ 座標は $y\geqq3-\frac{x^2}{4}$ を満たし、逆にこの範囲の $y$ はすべて得られる。したがって求める領域は
$$\boxed{y\geqq3-\frac{x^2}{4}}.$$
境界は頂点 $(0,3)$ の下向きの放物線 $y=3-\frac{x^2}{4}$ であり、その上側（境界を含む）を図示する。

(2) $0\leqq u\leqq2$ のとき、同じ平方完成式から $g_x(u)$ の最小値を調べる。頂点の $u=\frac{x}{2}$ が区間内にあるのは $0\leqq x\leqq4$ のときである。これを外れると、区間内で $\frac{x}{2}$ に最も近い端点が最小を与える。よって
$$\min_{0\leqq u\leqq2}g_x(u)= \begin{cases} 3,&x\leqq0,\\ 3-\dfrac{x^2}{4},&0\leqq x\leqq4,\\ 7-2x,&x\geqq4. \end{cases}$$
最大値は、$u^2\leqq2u$ より
$$g_x(u)=u^2-xu+3\leqq 3+(2-x)u.$$
右辺は $u$ の一次式である。$x\leqq2$ なら $3+(2-x)u\leqq7-2x$（等号 $u=2$）、$x\geqq2$ なら $3+(2-x)u\leqq3$（等号 $u=0$）。したがって
$$\max_{0\leqq u\leqq2}g_x(u)= \begin{cases} 7-2x,&x\leqq2,\\ 3,&x\geqq2. \end{cases}$$
多項式 $g_x(u)$ は $0\leqq u\leqq2$ の範囲で連続なので、最小値から最大値までのすべての $y$ をとる。求める領域は
$$\boxed{ \begin{cases} 3\leqq y\leqq7-2x,&x\leqq0,\\ 3-\dfrac{x^2}{4}\leqq y\leqq7-2x,&0\leqq x\leqq2,\\ 3-\dfrac{x^2}{4}\leqq y\leqq3,&2\leqq x\leqq4,\\ 7-2x\leqq y\leqq3,&x\geqq4. \end{cases}}$$
したがって図示では、上側境界は $x\leqq2$ で $y=7-2x$、$x\geqq2$ で $y=3$。下側境界は $x\leqq0$ で $y=3$、$0\leqq x\leqq4$ で $y=3-\frac{x^2}{4}$、$x\geqq4$ で $y=7-2x$ となる。これらはすべて含み、その間を塗る。境界の接続点は下側が $(0,3),(4,-1)$、上側が $(2,3)$ である。