2金沢医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

交点を因数分解で求めて直線を決定し、2つの囲まれた面積は曲線と直線の差を区間内で符号確認して積分した。頂点・接線を求めた後、座標による距離と底辺・高さで各図形の面積を計算した。

①と②の交点の $x$ 座標は
$$2x^{2}+4x-16=-x^{2}-8x+20 \quad\text{すなわち}\quad 3x^{2}+12x-36=0 \quad\text{すなわち}\quad (x+6)(x-2)=0$$
より $x=-6,\,2$ である。①に代入すると、交点は $\mathrm{A}(2,\,0)$、$\mathrm{B}(-6,\,32)$ となる。したがって直線 $\ell_1$ の傾きは
$$\dfrac{32-0}{-6-2}=-4$$
であり、$\mathrm{A}$ を通るので $\ell_1:y=-4x+8$。

交点の $x$ 座標の間 $-6\leqq x\leqq 2$ で、
$$\ell_1-(2x^{2}+4x-16)=-2(x+6)(x-2)=2(x+6)(2-x),$$
$$(-x^{2}-8x+20)-\ell_1=-(x+6)(x-2)=(x+6)(2-x).$$
よって 2 つの面積は
$$S_1=2\displaystyle\int_{-6}^{2}(x+6)(2-x)\,dx =2\displaystyle\int_{0}^{8}t(8-t)\,dt=\dfrac{512}{3},$$
$$S_2=\displaystyle\int_{-6}^{2}(x+6)(2-x)\,dx=\dfrac{256}{3}.$$
したがって最も簡単な整数比は $S_1:S_2=2:1$ である。

①、②を平方完成すると
$$2x^{2}+4x-16=2(x+1)^{2}-18,\qquad -x^{2}-8x+20=-(x+4)^{2}+36,$$
よって頂点は $\mathrm{C}(-1,\,-18)$、$\mathrm{D}(-4,\,36)$。線分 $\mathrm{AB}$ は直線 $y=-4x+8$、すなわち $4x+y-8=0$ 上にあり、$\mathrm{AB}=\sqrt{8^{2}+32^{2}}=8\sqrt{17}$ である。直線 $\mathrm{AB}$ から $\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ までの距離はそれぞれ
$$\dfrac{|4(-1)-18-8|}{\sqrt{17}}=\dfrac{30}{\sqrt{17}},\qquad \dfrac{|-16+36-8|}{\sqrt{17}}=\dfrac{12}{\sqrt{17}}.$$
線分 $\mathrm{AB}$ で四角形 $\mathrm{ACBD}$ を 2 つの三角形に分けると、面積は
$$\dfrac{1}{2}\cdot 8\sqrt{17}\left(\dfrac{30}{\sqrt{17}}+\dfrac{12}{\sqrt{17}}\right)=168.$$

②の導関数は $-2x-8$ である。$\mathrm{A}$ における接線は傾き $-12$ なので $\ell_2:y=-12x+24$、$\mathrm{B}$ における接線は傾き $4$ なので $\ell_3:y=4x+56$。連立して交点は $\mathrm{M}(-2,\,48)$ となる。点 $\mathrm{M}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離は
$$\dfrac{|4(-2)+48-8|}{\sqrt{17}}=\dfrac{32}{\sqrt{17}}.$$
したがって
$$\triangle\mathrm{ABM}=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AB}\cdot\dfrac{32}{\sqrt{17}} =\dfrac{1}{2}\cdot 8\sqrt{17}\cdot\dfrac{32}{\sqrt{17}}=128.$$