8東邦大学 2022年 数学 第8問解答・解説

東邦大学 2022年度 第8問

三角形の正弦定理より、辺 $BC,CA,AB$ の長さの比は
$$\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4.$$
従って、ある $t>0$ に対し
$$BC=2t,\qquad CA=3t,\qquad AB=4t.$$
余弦定理から
$$\cos A =\frac{CA^2+AB^2-BC^2}{2(CA)(AB)} =\frac{9t^2+16t^2-4t^2}{24t^2} =\frac78.$$

半周長を $s$、面積を $K$ とすると、ヘロンの公式より
$$s=\frac{9t}{2},\qquad K^2=s(s-BC)(s-CA)(s-AB) =\frac{9t}{2}\cdot\frac{5t}{2}\cdot\frac{3t}{2}\cdot\frac{t}{2} =\frac{135t^4}{16}.$$
よって $K=\frac{3\sqrt{15}}4t^2$。内接円半径と外接円半径は
$$r=\frac Ks=\frac{\sqrt{15}}6t,\qquad R=\frac{(BC)(CA)(AB)}{4K}=\frac8{\sqrt{15}}t.$$
ここで $K=rs$ は内心から各辺へ下ろした垂線で面積を3つに分けた式であり、$R=abc/(4K)$ は正弦定理と $K=\frac12bc\sin A$ から得られる。したがって
$$\frac rR =\frac{(\sqrt{15}/6)t}{(8/\sqrt{15})t} =\frac5{16}.$$