3滋賀医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

曲線上の点の $x$ 座標を $t$ とすると、その点における接線は
$$y=(3at^2+b)x-2at^3$$
である。したがって接線の傾きと $y$ 切片をそれぞれ $m(t),c(t)$ とおけば、$m(t)=b+3at^2$、$c(t)=-2at^3$ である。

(1) 接線が原点を通るための条件は $c(t)=0$ である。$a\ne0$ より $t=0$ となり、このときの接線は $y=bx$ である。よって、原点を通る接線は $1$ 本である。

(2) 2直線が垂直であるための条件は、傾きを $m_1,m_2$ として $m_1m_2=-1$ となることである。$a>0$ なら $m(t)\geqq b$ であるから、傾きに正と負の両方が含まれるための必要条件は $b<0$ である。逆に $b<0$ なら、$m_1=b/2$、$m_2=-2/b$ と選ぶと、どちらも $b$ 以上であり $m_1m_2=-1$ である。各傾きは $t^2=(m-b)/(3a)\geqq0$ として実現できる。よって $a>0$ のときは $b<0$ である。

$a<0$ なら $m(t)\leqq b$ であるから、必要条件は $b>0$ である。$b>0$ のとき $m_1=b/2$、$m_2=-2/b$ と選ぶと、どちらも $b$ 以下で積は $-1$ であり、$t^2=(m-b)/(3a)\geqq0$ として実現できる。したがって求める範囲は $ab<0$ である。

(3) 直線の傾きが $m$ であるとき、その直線の方向角を $\theta$（$-\pi/2<\theta<\pi/2$）とすれば $m=\tan\theta$ である。正三角形の各辺を含む3直線の方向は、向きを $\pi$ 周期で考えると $\pi/3$ ずつ隔たる。3方向を含む最短の弧の長さは $2\pi/3$ である。

$-\pi/2<\beta<\pi/2$ で $\tan\beta=b$ となる角を $\beta$ とおく。$a>0$ の場合、接線の傾きは $m\geqq b$ なので方向角は $\beta\leqq\theta<\pi/2$ に限られる。この区間の長さは $\pi/2-\beta$ である。3方向が入るにはこの長さが $2\pi/3$ より大きくなければならない（右端 $\pi/2$ は接線の方向として得られない）。これは $b<-1/\sqrt3$ と同値である。

$a<0$ の場合は $m\leqq b$ なので $-\pi/2<\theta\leqq\beta$ であり、同様に $\beta+\pi/2>2\pi/3$、すなわち $b>1/\sqrt3$ が必要である。

この条件が満たされるとき、方向角を3つ選び、隣り合うものの差を $\pi/3$ とし、すべてを上記の方向角区間の内部に置ける。それらの傾きを $m_1,m_2,m_3$ とする。$a>0$ では $m_i>b$、$a<0$ では $m_i<b$ と選べるので、各 $i$ について $t_i=\sqrt{(m_i-b)/(3a)}>0$ とおけば、これらを傾きとする接線が得られる。

これら3本が1点 $(X,Y)$ で交わると仮定すると、接点の $x$ 座標 $t_i$ はすべて方程式 $2at^3-3aXt^2+(Y-bX)=0$ の解となる。この方程式の $t$ の係数は $0$ だから、解と係数の関係より $t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=0$ となる。しかし $t_1,t_2,t_3>0$ なのでこれは不可能である。3本は共点でなく、傾きも互いに異なるから三角形を囲み、その辺の方向が $60^\circ$ ずつ異なるので正三角形である。したがって求める範囲は $a>0,\ b<-1/\sqrt3$ または $a<0,\ b>1/\sqrt3$ である。