3和歌山県立医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

解と係数の関係および各根が満たす方程式から、数列の漸化式を導き、周期を確かめる。

(1)

解と係数の関係から $\alpha+\beta=1$、$\alpha\beta=1$ である。したがって
$$a_{1}=\alpha+\beta=1,\qquad a_{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=-1.$$

(2)

また、$\alpha^{2}=\alpha-1$、$\beta^{2}=\beta-1$ だから、これらにそれぞれ $\alpha^{n}$、$\beta^{n}$ を掛けて足すと
$$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}.$$

(3)

この漸化式から
$$a_{1}=1,\ a_{2}=-1,\ a_{3}=-2,\ a_{4}=-1,\ a_{5}=1,\ a_{6}=2,\ a_{7}=1,\ a_{8}=-1.$$
よって $(a_{7},a_{8})=(a_{1},a_{2})$ である。各項が直前の 2 項で定まる漸化式なので、以後 6 項ごとに同じ値が繰り返される。したがって数列の値は $-2,\,-1,\,1,\,2$ である。

(4)

6 項の並びは $1,\,-1,\,-2,\,-1,\,1,\,2$ であるから、最大値 $2$ は $n=6m$（$m=1,\,2,\,\cdots$）でとり、最小値 $-2$ は $n=6m+3$（$m=0,\,1,\,\cdots$）でとる。