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熊本大学／2025年度／前期

2熊本大学 2025年 数学 第2問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面三角関数図形と計量

1問題

熊本大学2025年度第2問
α\alpha を0ではない複素数とする。
z=62+22i z=\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i
とおき、β=zα, γ=z2α\beta=z\alpha,\ \gamma=z^2\alpha とおく。0,α,β,γ0,\alpha,\beta,\gamma はそれぞれ複素数平面上の点 O,A,B,CO,A,B,C を表すとする。ただし、ii は虚数単位である。以下の問いに答えよ。

(問 1) ∠BOC\angle BOC を求めよ。

(問 2) 複素数 δ\delta に対し、δ\delta が表す複素数平面上の点を DD とするとき、線分 BDBD の垂直二等分線は A,CA,C を通るとする。このような δ\delta を α\alpha を用いて表せ。

(問 3) 0<θ<π0<\theta<\pi とする。点 DD を、点 CC を中心に θ\theta だけ回転した点が BB であるとする。このとき sin⁡θ\sin\theta を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • （問1）∠BOC=π/6\angle BOC=\pi/6。 （問2）δ=α(2−6/2+(2/2)i)\delta=\alpha(2-\sqrt{6}/2+(\sqrt{2}/2)i)。 （問3）sin⁡θ=32−36\sin\theta=\dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

z=(6+i2)/2z=(\sqrt{6}+i\sqrt{2})/2 とすると ∣z∣=2|z|=\sqrt{2}、arg⁡z=π/6\arg z=\pi/6、z2=1+3iz^2=1+\sqrt{3} i。（問1）β=zα,γ=zβ\beta=z\alpha,\gamma=z\beta よりOBからOCへの回転角は π/6\pi/6、従って ∠BOC=π/6\angle BOC=\pi/6。

（問2）α≠0\alpha\ne0 なので複素平面を ww を wα\dfrac{w}{\alpha} に対応させる で正規化する。A,Cはそれぞれ 1,1+3i1,1+\sqrt{3} i となりACは直線 x=1x=1。この直線はBDの垂直二等分線なのでDはBの x=1x=1 に関する対称点である。したがって δ/α=2−z‾=2−6/2+(2/2)i\delta/\alpha=2-\overline z=2-\sqrt{6}/2+(\sqrt{2}/2)i、上記のδを得る。

（問3）正規化後 B=(6/2,2/2)B=(\sqrt{6}/2,\sqrt{2}/2)、C=(1,3)C=(1,\sqrt{3})、D=(2−6/2,2/2)D=(2-\sqrt{6}/2,\sqrt{2}/2)。a=6/2−1>0a=\sqrt{6}/2-1>0、b=3−2/2>0b=\sqrt{3}-\sqrt{2}/2>0 と置くと CB→=(a,−b)\overrightarrow{CB}=(a,-b)、CD→=(−a,−b)\overrightarrow{CD}=(-a,-b)。CAを対称軸とする角を φ\varphi とすれば tan⁡φ=a/b\tan\varphi=a/b、θ=2φ\theta=2\varphi だから
sin⁡θ=2aba2+b2=42−336−26=32−36. \sin\theta=\dfrac{2ab}{a^2+b^2} =\dfrac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{6-2\sqrt{6}} =\dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}.
0<φ<π/20<\varphi<\pi/2 なので角の向きと正の符号も整合する。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 複素数の極形式
  • 垂直二等分線と対称移動
  • 二倍角公式

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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