5山形大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1)(i) 極形式
$z=x+iy$ とおくと
$$z-\overline z+i=i(2y+1),\qquad z+\overline z-i=2x-i$$
だから、$w=(y+1/2)(1+2ix)$。与えられた点では
$$w=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(1+i)=\sqrt{\dfrac32}\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)$$
となり、偏角 $\pi/4$ は指定範囲内にある。

(1)(ii) 円周上での絶対値
円の条件は $x^2+(y+1/2)^2=1$ である。$u=y+1/2,\ t=x^2$ とおくと $0\leqq t\leqq1$ であり、
$$|w|^2=u^2(1+4x^2)=(1-t)(1+4t)=\dfrac{25}{16}-4\left(t-\dfrac38\right)^2.$$
最大値は $t=3/8$ のとき $25/16$、最小値は $t=1$ のとき0。どちらも円周上で実現するので、$\max|w|=5/4,\ \min|w|=0$。

(2)(i) $f$ の最小値
$f'(x)=1+2\cos x=0$ となる点は $x=2\pi/3,4\pi/3$。両端の値と比べると、最小値は $f(0)=0$。

(2)(ii) 不定積分
$$\int (x+2\sin x)\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+x-\dfrac12\sin2x+C.$$

(2)(iii) 積分を含む方程式
$c=\dfrac18\int_0^{2\pi}|g(t)\sin t|dt\geqq0$ とおくと、$g=f+c$。指定範囲で $f\geqq0$ なので、絶対値は $g(t)|\sin t|$ と書ける。積分範囲を分けて計算すると
$$A=\int_0^{2\pi}f(t)|\sin t|dt=4\pi,\qquad \int_0^{2\pi}|\sin t|dt=4.$$
よって $8c=A+4c$、従って $c=\pi$ である。この値は元の方程式を満たし、$c$ の方程式から一意に定まる。したがって連続関数の解は
$$g(x)=x+2\sin x+\pi$$
だけである。