9東邦大学 2025年 数学 第9問解答・解説

絶対値を場合分けして二次関数に直し、区間内の頂点と境界で極値を判定した。

$a\leqq0$ のとき $x^2-a\geqq0$ なので $f(x)=(x-2)^2+4-a$ となり、極大値はない。$a>0$ では $$f(x)=\begin{cases}(x-2)^2+4-a &( |x|\geqq\sqrt a),\\ -(x+2)^2+a+12 &( |x|\leqq\sqrt a).\end{cases}$$ 中央の下向き放物線の頂点 $x=-2$ が$-\sqrt a<-2<\sqrt a$ を満たすのは $a>4$ のときであり、そのとき極大値は $a+12$ である。境界 $x=-\sqrt a$ では左側の傾きが $-2\sqrt a-4<0$、$x=\sqrt a$ では左側の傾きが $-2\sqrt a-4<0$ なので、いずれも極大点にはならない。また外側は上向き放物線である。従って極大値30をとるのは $a+12=30$ のときで、$a=18$。
最小値を調べる。$a\leqq0$ の場合は上の式から最小値 $4-a\geqq4$ であり、$-12$ にはならない。$a>0$ とする。中央の下向き放物線の最小値は端点のうち低い方 $x=\sqrt a$ での値 $8-4\sqrt a$ である。左側の外側の放物線は $x\leqq-\sqrt a$ で減少するので、その最小値は境界 $x=-\sqrt a$ での $8+4\sqrt a$ である。右側の外側の放物線について、$0<a\leqq4$ なら頂点 $x=2$ が範囲内にあり最小値は $4-a$。さらに $$(8-4\sqrt a)-(4-a)=(\sqrt a-2)^2\geqq0$$ だから全体の最小値も $4-a$ である。$a\geqq4$ なら右側の範囲では減少せず境界 $x=\sqrt a$ で最小となり、全体の最小値は $8-4\sqrt a$ となる。したがって $4-a=-12$ は $a\leqq4$ と両立せず、$8-4\sqrt a=-12$ から $a=25$ を得る。