10東邦大学 2025年 数学 第10問解答・解説

両方の差を有理化して単調減少を示し、境界となる連続する整数で条件を厳密に判定した。

まず $$\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$ であり、分母は $n$ とともに増加するので左辺は減少する。$n=15$ では $4-\sqrt{15}\geqq1/8$（$31/8>\sqrt{15}$）であり、$n=16$ では $\sqrt{17}-4<1/8$（$\sqrt{17}+4>8$）である。よって最大の $n$ は15。

次に、$n\geqq1$ について $$\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt n\sqrt{n+1}(\sqrt n+\sqrt{n+1})}$$ となる。右辺の分母は $n$ とともに増加するから、この差も減少する。$n=63$ では分母が $8\sqrt{63}(\sqrt{63}+8)$ であり、これは $1024$ 以下である。実際、$8\sqrt{63}(\sqrt{63}+8)\leqq1024$ は $8\sqrt{63}\leqq65$、すなわち $4032\leqq4225$ に帰着する。従って不等式は成り立つ。$n=64$ では分母が $8\sqrt{65}(\sqrt{65}+8)>1024$ である。これは $8\sqrt{65}>63$、すなわち $4160>3969$ による。従って不等式は成り立たない。減少性から最大の $n$ は63。