5岐阜大学 2022年 数学 第5問解答・解説

微分と二次関数の頂点・端点を用いて各区間の最大最小を決める。絶対値では頂点の負値の大きさと端点の正値を比較し、最後は$x=\sqrt{1-t^{2}}$と置いて$f$の値域へ帰着する。

(1)

合成関数の微分法より$$g'(t)=\dfrac12(1-t^2)^{-1/2}(-2t)=-\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}\quad(0<t<1).$$この式は右端からの微分係数としても$t=0$で$g'(0)=0$を与える。

(2)

$0<a\leqq\dfrac12$のとき、$0\leqq x\leqq1$で$$f'(x)=2ax-1\leqq2a-1\leqq0.$$したがって$f$は減少し、端点で$$f(0)=1-a,\qquad f(1)=0.$$よって最大値は$1-a$（$x=0$）、最小値は$0$（$x=1$）である。

(3)

$a>\dfrac12$では頂点の横座標$x_0=\dfrac1{2a}$が$0<x_0<1$なので、上に開く放物線$f$はここで最小となる。平方完成すると$$f(x)=a\left(x-\dfrac1{2a}\right)^2+1-a-\dfrac1{4a}=a\left(x-\dfrac1{2a}\right)^2-\dfrac{(2a-1)^2}{4a}.$$したがって最小値は$-\dfrac{(2a-1)^2}{4a}$（$x=\dfrac1{2a}$）。最大値は端点値$f(0)=1-a$、$f(1)=0$の大きい方である。よって$\dfrac12<a<1$では$1-a$（$x=0$）、$a=1$では$0$（$x=0,1$）、$a>1$では$0$（$x=1$）。

(4)

$0<a\leqq\dfrac12$では(2)

より$f(x)\geqq0$なので、$|f|$の最大値は$1-a$（$x=0$）。$a>\dfrac12$では、(3)

の最小値を$-K$とおくと$K=\dfrac{(2a-1)^2}{4a}>0$である。$\dfrac12<a<1$では端点値は$f(0)=1-a>0, f(1)=0$だから、$\max|f|=\max\{K,1-a\}$。一方$a\geqq1$では$|f(0)|=a-1, |f(1)|=0$であり、
$$K-(a-1)=\dfrac{(2a-1)^2}{4a}-(a-1)=\dfrac1{4a}>0$$
なので、頂点での$K$が両端点での絶対値より大きい。
$\dfrac12<a<1$で$K-(1-a)=\dfrac{8a^2-8a+1}{4a}$。この範囲にある零点は$\alpha=\dfrac{2+\sqrt2}{4}$であり、$a<\alpha$なら$K<1-a$、$a=\alpha$なら等しく、$a>\alpha$なら$K>1-a$となる（もう一つの零点$\dfrac{2-\sqrt2}{4}$はこの範囲にない）。したがって、$0<a<\alpha$では最大値$1-a$を$x=0$でとる。$a=\alpha$では最大値$1-\alpha=\dfrac{2-\sqrt2}{4}$を$x=0$および頂点$x=\dfrac1{2\alpha}=2-\sqrt2$でとる。$a>\alpha$では最大値$K=\dfrac{(2a-1)^2}{4a}$を頂点$x=\dfrac1{2a}$でとる。

(5)

$x=\sqrt{1-t^{2}}$ とおくと、$0\leqq t\leqq1$ のとき $x$ は $1$ から $0$ まで動き、$1-\sqrt{1-t^{2}}-at^{2}=1-x-a(1-x^{2})=ax^{2}-x+1-a=f(x)$ である。よって $h(t)=|f(x)|$ であり、$h$ の最大値は $0\leqq x\leqq1$ における $|f(x)|$ の最大値、すなわち (4) の最大値に等しい。