7東邦大学 2025年 数学 第7問解答・解説

$z=x+iy$（$x,y\text{ は実数}$）とおく。まず $C_1$ の条件を2乗して展開すると $$(x+1)^2+(y+3)^2=(x-7)^2+(y-3)^2$$ となり、整理して $4x+3y=12$ を得る。この直線上で $$12=4x+3y\leqq\sqrt{4^2+3^2}\sqrt{x^2+y^2}=5|z|$$ だから $|z|\geqq12/5$。等号は $(x,y)=(48/25,36/25)$ で成り立つので、最小値は $12/5$ である。

次に $C_2$ については $$x^2+(y-3)^2=9x^2+(3y-1)^2$$ を整理して $x^2+y^2=1$ を得る。よって $C_2$ は原点中心、半径1の円である。点 $P,Q$ をそれぞれ $C_1,C_2$ 上にとると、三角不等式より $$|P-Q|\geqq\bigl||P|-|Q|\bigr|\geqq\frac{12}{5}-1=\frac75.$$ $C_1$ 上で原点に最も近い点は $P=(48/25,36/25)$ であり、$Q=(4/5,3/5)$ は $C_2$ 上にある。この2点は原点から同じ向きにあり、$|P-Q|=7/5$ となる。従って $|z_1-z_2|$ の最小値は $7/5$ である。