I防衛医科大学校 2023年 数学 第I問解答・解説

防衛医科大学校 2023 数学・I

問題の確認

放物線は$C_1:y=x^2$、$C_2:y=x^2-k^2$（$k>0$）。点$T$から$C_1$に引いた接線の接点を$A,B$とし、$A$の$x$座標が小さい。$M$は$AB$の中点である。(1)は$M$の軌跡を選び、(2)はこの軌跡が指定領域に含まれるための$k$の最小値を求める。

(1) 軌跡 $C_3$

$T$の$x$座標を$u$とおくと、$T=(u,u^2-k^2)$。$C_1$上の点$(a,a^2)$を通り傾き$2a$の直線は$y=2ax-a^2$である。$C_1$との交点条件は

$$x^2=2ax-a^2\quad\text{すなわち}\quad(x-a)^2=0$$

となるため、この直線は$(a,a^2)$で$C_1$に接する。これが$T$を通る条件は

$$u^2-k^2=2au-a^2 \quad\text{すなわち}\quad (a-u)^2=k^2,$$

ゆえに接点の$x$座標は$u-k,u+k$。$k>0$なので、前者が$A$、後者が$B$である。よって

$$A=(u-k,(u-k)^2),\qquad B=(u+k,(u+k)^2).$$

中点の座標を計算すると

$$\begin{aligned} x_M&=\frac{(u-k)+(u+k)}2=u,\\ y_M&=\frac{(u-k)^2+(u+k)^2}2=u^2+k^2. \end{aligned}$$$$x_M=\frac{(u-k)+(u+k)}{2}=u,$$$$y_M=\frac{(u-k{)}^2+(u+k{)}^2}{2}=u^2+k^2.$$

$u$は実数全体を動くので、軌跡は

$$\boxed{C_3:y=x^2+k^2}$$

であり、選択肢は$\boxed{1}$（選択肢(1)）である。

(2) 領域に含まれるための $k$

領域の左辺を$F(x,y)$とすると、因数分解して

$$F(x,y)=3x^2+2xy-y^2+2x+2y=(x+y)(3x-y+2).$$

$s=k^2$とおくと$s>0$であり、軌跡上$y=x^2+s$だから

$$F(x,x^2+s)=(x^2+x+s)(-x^2+3x+2-s).$$

これがすべての実数$x$について$0$以下となる条件を調べる。まず$x=\frac32$では

$$x^2+x+s=\frac{15}{4}+s>0, \qquad -x^2+3x+2-s=\frac{17}{4}-s.$$

したがって必要条件は$\frac{17}{4}-s\leqq0$、すなわち$s\geqq\frac{17}{4}$である。

逆に$s\geqq\frac{17}{4}$なら

$$x^2+x+s=\left(x+\frac12\right)^2+s-\frac14>0$$

が全ての実数$x$で成り立つ。また

$$-x^2+3x+2-s=-\left(x-\frac32\right)^2+\frac{17}{4}-s\leqq0$$

も全ての実数$x$で成り立つ。よってこの条件は十分でもある。$s=k^2$かつ$k>0$より

$$\boxed{k\geqq\frac{\sqrt{17}}2}$$

であり、選択肢は$\boxed{2}$の選択肢(5)である。