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東邦大学／2025年度／一般

1東邦大学 2025年 数学 第1問解答・解説

数列二次関数

1問題

東邦大学2025年度第1問
数列 a1,a2,⋯ ,an,⋯a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots について、第1項から第 nn 項までの和 SnS_n が Sn=5n(n−12)S_n=5n(n-12) で与えられる。Sn=2025S_n=2025 となる nn の値は n=アイn=\boxed{\text{アイ}} であり、an=1925a_n=1925 となる nn の値は n=ウエオn=\boxed{\text{ウエオ}} である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    n=27n=27
  • (2)
    n=199n=199

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

部分和の方程式を二次方程式として解き、一般項は部分和の差から求めた。

解答

(1)　 5n(n−12)=20255n(n-12)=2025 より n2−12n−405=0n^2-12n-405=0。これを解くと (n−27)(n+15)=0(n-27)(n+15)=0 だから n=27,−15n=27,-15。数列の項番号は正の整数なので n=27n=27。

(2) n≧2n\geqq2 について an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} である。 Sn−1=5(n−1)(n−13),an=5n(n−12)−5(n−1)(n−13)=10n−65. S_{n-1}=5(n-1)(n-13),\qquad a_n=5n(n-12)-5(n-1)(n-13)=10n-65. よって 10n−65=192510n-65=1925 から n=199n=199。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 総和記号と数列の和
  • 二次方程式とグラフ

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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