3東邦大学 2025年 数学 第3問解答・解説

交点の三角比を求め、2曲線の符号と交点間隔を確かめて定積分で囲まれた面積を求めた。

交点では $\sqrt{13}\cos x=\sqrt5\sin x$ である。$0\leqq\alpha\leqq\pi$ では両辺の符号から $\alpha$ は第1象限にあり、$$13\cos^2\alpha=5\sin^2\alpha=5(1-\cos^2\alpha)$$ より $18\cos^2\alpha=5$。$\cos\alpha>0$ だから $\cos\alpha=\sqrt{5/18}=\sqrt{10}/6$。同じ交点条件は $x$ を $\pi$ だけ増やしても保たれるので、もう一つの指定範囲内の交点は $\beta=\alpha+\pi$ である。2曲線の差 $\sqrt5\sin x-\sqrt{13}\cos x$ は $x=\pi$ で正であり、区間内で他に交点がないため、面積は $$\begin{aligned} A&=\int_\alpha^{\alpha+\pi}(\sqrt5\sin x-\sqrt{13}\cos x)\,dx\\ &=2\sqrt5\cos\alpha+2\sqrt{13}\sin\alpha\\ &=2\cos\alpha\left(\sqrt5+\frac{13}{\sqrt5}\right)=\frac{36}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt{10}}6=6\sqrt2. \end{aligned}$$$$A={\int }_{\alpha }^{\alpha +\pi }(\sqrt{5}\sin x-\sqrt{13}\cos x)dx$$$$=2\sqrt{5}\cos \alpha +2\sqrt{13}\sin \alpha$$$$=2\cos \alpha \left(\sqrt{5}+\frac{13}{\sqrt{5}}\right)=\frac{36}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{6}=6\sqrt{2}.$$