5東邦大学 2025年 数学 第5問解答・解説

1から15までの数には、3の倍数が5個、3の倍数でない数が10個ある。選んだ3個の積が3の倍数でないのは、3の倍数でない10個から3個を選ぶ場合に限る。従って積が3の倍数となる選び方は、$${}_{15}\mathrm{C}_{3}-{}_{10}\mathrm{C}_{3}=455-120=335$$ 通りである。次に、1から15までの数は、3で割った余りが0、1、2となるものがそれぞれ5個ずつある。3個の余りの和が3の倍数となる組は、余りがすべて0、すべて1、すべて2の場合と、余りが0、1、2から1個ずつの場合である。前者は $3\cdot{}_{5}\mathrm{C}_{3}=30$ 通り、後者は $5\cdot5\cdot5=125$ 通りだから、和が3の倍数となる選び方は $30+125=155$ 通りである。