4東邦大学 2025年 数学 第4問解答・解説

正の整数 $x$ が $k$ 桁であることは $10^{k-1}\leqq x<10^k$ と同値である。まず $\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.699$ だから、$\log_{10}(5^{100})=100\cdot0.699=69.9$。従って $10^{69}<5^{100}<10^{70}$ となり、$5^{100}$ は70桁である。次に、$a^{100}$ が85桁である条件から $84\leqq\log_{10}(a^{100})<85$。また、$$\log_{10}\bigl((5a^2)^{10}\bigr)=10\log_{10}5+20\log_{10}a=6.99+\frac15\log_{10}(a^{100})$$ である。よってこの対数は $6.99+\frac{84}{5}=23.79$ 以上、$6.99+\frac{85}{5}=23.99$ 未満である。したがって $10^{23}\leqq(5a^2)^{10}<10^{24}$ となり、これは24桁である。