2鹿児島大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $a,b,c$ は正で $1$ ではないから、各対数と以下の分母は定義され、$\log a\ne0,\ \log c\ne0$ である。自然対数を用いて
$$\log_a b=\frac{\log b}{\log a},\qquad \frac{\log_c b}{\log_c a} =\frac{\log b/\log c}{\log a/\log c} =\frac{\log b}{\log a}$$
となる。よって等式が成立する。

(2) 底の変換公式を用い、
$$\log_{30}600=\frac{\log_{10}600}{\log_{10}30}.$$
ここで $600=6\cdot100$、$30=3\cdot10$ なので
$$\log_{10}600=s+t+2,\qquad \log_{10}30=t+1.$$
従って
$$\log_{30}600=\frac{s+t+2}{t+1}.$$

(3) $1\leqq x\leqq125=5^3$ であり、$5>1$ だから $u=\log_5x$ とおくと $0\leqq u\leqq3$。また $x>0$ なので $\log_5(x^8)=8\log_5x$ である。よって
$$y=2u^2-8u+6=2(u-2)^2-2.$$
この二次関数は上に開き、頂点 $u=2$ は区間内にあるから最小値は $-2$。これは $x=5^2=25$ のときにとる。最大値は区間の端点で比較すればよく、
$$u=0\ (x=1)\text{ では }y=6,\qquad u=3\ (x=125)\text{ では }y=0.$$
したがって最大値は $6$ で、そのとき $x=1$ である。