8東邦大学 2025年 数学 第8問解答・解説

空間ベクトルの内積で垂足を求め、平面内の変位ベクトルにコーシー・シュワルツを適用してz座標を最大化した。

$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$ とおく。$H=A+t\overrightarrow{AB}$ とすると、$CH\perp AB$ より $$(\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AB}=0$$ である。よって $$((-1,0,3)-t(-1,2,0))\cdot(-1,2,0)=1-5t=0$$ から $t=1/5$。従って $H=(4/5,2/5,0)$ であり、$x$ 座標は $4/5$ である。
次に、平面 $ABC$ は切片の式より $6x+3y+2z=6$ と表せる。中心 $A$ から円周上の点への変位を $v=(v_x,v_y,v_z)$ とすると、$v$ は平面に平行だから $6v_x+3v_y+2v_z=0$、また円の半径が7なので $|v|=7$。$d=(-4,-2,15)$ とおくと $6d_x+3d_y+2d_z=0$ であり、上の平面条件から $$49v_z=3d\cdot v$$ を得る。コーシー・シュワルツの不等式より $$v_z\leqq\frac{3}{49}|d||v|=\frac{3}{49}\cdot7\sqrt5\cdot7=3\sqrt5.$$ 等号は $v=d/\sqrt5$ のとき成立し、このベクトルは平面内で長さ7である。中心 $A$ の $z$ 座標は0だから、円周上での最大の $z$ 座標は $3\sqrt5$ である。